粘滯阻尼減震結構最優極點配置與隨機振動分析

杜永峰, 李春鋒, 李 慧

(1．蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2．河西學院 土木工程學院, 甘肅 張掖 734000；3．西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

粘滯阻尼器僅提高結構的阻尼而不改變剛度，具有在較寬頻域范圍內保持粘滯線性反應、環境溫度不敏感、產生的阻尼力與位移異相、較好的可靠性和耐久性等特點，在土木工程結構減震控制設計與研究中得到了廣泛的應用[2-7]。

鑒于建筑結構減震控制分析的多目標性，使得極點配置算法在結構減震控制設計與應用中的使用受到了一定程度的限制，文獻[1]針對結構減震控制的多目標性，在考慮外界擾動的情況下對多目標情形下極點最優配置唯一性實現問題進行了研究，較好的處理了這一局限性，為該算法在土木工程行業的應用提供了一些幫助。然而文獻[1]所得的控制力矩陣在物理意義上同LQR算法均表現出了控制力剛度不為零的現象，當結構減震控制使用粘滯阻尼器時，使得該算法的應用受到了限制。為克服文獻[1]的不足，本文提出基于粘滯阻尼減震結構最優極點配置算法，以補充文獻[1]算法的不足。

此外，由于結構減震控制中地震作用的不確定性，利用隨機振動理論構造隨機激勵，并結合現有算法對最優極點配置前后粘滯阻尼減震結構進行隨機振動分析，以此證明所提供最優極點配置算法的有效性與正確性，為實際工程的應用與相關科學研究提供一些幫助。

1 粘滯阻尼減震結構數學模型建立

1.1 線性震動微分方程的建立

地震下線性結構震動受控系統的微分方程為：

(1)

1.3 非線性震動微分方程建立及等效線性化

建筑結構在強震作用下處于彈塑性狀態，表現出較強的非線性特性，其形式主要表現在結構阻尼項和剛度項或兩者的組合，依據本文討論，建立非線性震動微分方方程：

(2)

(3)

其中：vi為第i層的層間相對位移，vi=xi-xi-1，zi為第i層滯回位移，ki為第i層屈服前剛度，αi為第i層屈服后剛度與屈服前剛度之比，Ai,βi,γi,ni為滯回曲線的參數。

由此，可寫出系統等效線性方程：

(4)

(5)

式中，[Ke]為彈性剛度矩陣，為αi與層剪切剛度乘積的矩陣轉換，[Kh]為滯遲剛度矩陣，為(1-αi)與層剪切剛度乘積矩陣轉換，實際計算時需特別注意X，V區別，[Ceqx]表達形式詳見文獻[8-9]。其中，[Ceqv]=diag([ceqi])，[Keq]=diag([keqi])，結構為混凝土結構時[10]，可取Ai=1，ni=2，γi=-0.5(1-αi)/xy,xy為屈服強度與屈服前剛度比值，βi=-3γi。

(6)

1.3 結構減震控制系統狀態方程

(7)

[A]為狀態矩陣，[D]為輸入矩陣，[C0]為單位陣，線性系統時自由度為2n,非線性系統時自由度數為3n。具體為：

當系統為線性系統時：

(8a)

當系統為彈塑形形態時：

(8b)

粘滯阻尼器可看作一種無剛度速度相關型阻尼器，依據能量相等原理進行等效線性化后的力學模型可表示為：

(9)

式(7)中，[G]=[0,Cd]為控制力反饋增益矩陣，其中[Cd]為等效粘滯阻尼系數矩陣。此處可與文獻[1]對比發現：在粘滯阻尼控制下，結構剛度部分的矩陣系數全為0，這為進行振動控制算法研究提出了一些要求。

1.4 結構傳遞函數矩陣

由于傳遞函數矩陣是系統輸入輸出的描述，依據傳遞函數矩陣的不變性，在進行控制系統的零極點配置時有必要對地震下建筑結構震動控制系統的傳遞函數矩陣進行詳細討論。

(1) 地震下結構震動系統的輸入輸出模型

零初始條件下的未控系統輸出輸入關系可表示為：

{Y(s)}=[T(s)]{Xg(s)}=

[C0](s[I]-[A])-1[D]{Xg(s)}

(10)

式中，T(s)為未控系統傳遞函數矩陣，當輸入地震擾動矩陣為一維向量時，具體可寫為：

[T(s)]=[C0](s[I]-[A])-1[D]=

[g1,1(s)g2,1(s) …gq,1(s)]T

(11)

零初始條件下的受控系統輸出輸入關系可表示為：

{Y(s)}=[Tc(s)]{Xg(s)}=

[C0](s[I]-[A]+[B][G])-1[D]{Xg(s)}

(12)

(2) 傳遞函數矩陣討論

為討論零極點位置變化對結構振動控制系統的影響，以非控結構震動控制系統為例，將微分方程右端地震輸入前負號并入地震波中，從而在地震作用作用下，傳遞函數矩陣為對角矩陣，其位移傳遞函數推導過程中如下：

(13)

(14)

地震作用下結構的位移傳遞函數為：

(15)

其中，D1=m1s2+(c1+c2)s+(k1+k2)

Di=mis2+(ci+ci+1)s+(ki+ki+1)，(2≤i≤n-1)

Dn=mns2+cns+kn，Ni=cis+ki,(2≤i≤n)

上面各式中，mi，ci，ki為各樓層的層質量、層阻尼系數和層剛度。

此外，當結構體系的阻尼為瑞利阻尼[C]=a[M]+b[K]時，則有：

D1=m1s2+cR1s+(k1+k2),

cR1=αm1+β(k1+k2)

Di=mis2+cRis+(ki+ki+1)，

cRi=αmi+β(ki+ki+1)

Dn=mns2+cRns+kn，

cRn=αmn+βkn

Ni=βki(s+1), (2≤i≤n-1),

Nn=βkn(s+1)

從上面的推導可以看出，當結構中施加粘滯阻尼控制器時，粘滯阻尼系數的增加將使結構的零極點發生很大的變化，結構的輸入輸出與結構零極點位置間存在較大依賴關系，為使結構在地震作用下的響應盡可能減小，進行最優極點配置是使其減小的一種內在措施。

2 粘滯阻尼結構最優極點配置

2.1 粘滯阻尼結構最優極點的確定

結構減震控制的主要目的是通過增大結構的阻尼以減小結構在地震作用下的響應。由于粘滯阻尼器可看作一種無剛度速度相關型阻尼器，粘滯阻尼減震結構在施加粘滯阻尼器的前后結構的自振周期不變，增加阻尼器后，結構體系的極點變化是在以非控結構自振頻率ω為半徑的圓周上移動，此外，系統阻尼值的增加主要通過極點在復平面內的移動來體現，極點距離虛軸越遠，極點與原點連線矢量與負實軸的夾角越小，即系統阻尼越大(β2<β1)，如圖1所示，圖中P1為未控系統某個極點，P2為P1在自振頻率ω不變前提下沿圓周移動后目標極點，β1、β2及ω1、ω2分別為結構受控前后阻尼角和自振頻率。具體有：

系統的極點常可表示為：

(16)

系統阻尼角：

βi=cos-1(ξi)

(17)

為獲得具有工程意義的最優配置極點，觀察式(16)、(17)及圖1，假定P1為未控系統固有極點，P2為受控系統期望極點，可以得出：粘滯阻尼器的施加實際是使結構的極點沿原未控結構自振頻率的圓周向遠離復平面虛軸的方向移動，距離越遠，結構體系阻尼越大。因此，在結構目標阻尼比一定的條件下，可通過極點在復平面的移動來實現最優(目標)極點的確定。

2.2 粘滯阻尼結構最優零點的確定

由1.4部分傳遞函數矩陣討論可以發現：① 極點左移的同時，導致零點隨之左移；② 零點移動的幅度隨極點移動幅度確定，具體可參照極點平移確定。下面簡要介紹其確定方法：

首先，根據式(7)確定未控系統的零點：

(18)

最后，依據確定的最優(或目標)零、極點構造傳遞函數陣。

圖1 復平面最優極點配置圖

2.3 最優極點配置算法總結

針對上述最優(目標)極點確定及配置的思路，為條理性現將其總結如下：

(1) 對給定未控制系統，求取其傳遞函數矩陣，令式(15)傳遞函數矩陣中各子式分母、分子為零，求出零、極點；

(2) 根據(1)所得零、極點分布情況，由2.1, 2.2內容確定最優(期望)零、極點；

(3) 根據最優(期望)零、極點，求其在零輸入下的傳遞函數矩陣[Gc]；

(4) 針對獲得的傳遞函數陣，確定系統狀態方程的目標最小實現：∑(Ac,Bc,Cc,Dc)；傳遞函數陣的實現讀者可參考文獻[1]提供的步驟進行。

3 結構隨機振動分析

隨機振動分析是計算結構體系動力可靠度的基礎，減震結構在平穩隨機地震作用下隨機響應的計算步驟可歸納為：

令

(19)

式(7)的解設為：

{W}={H(ω)}eiωt

(20)

其次，將式(19)、式(20)代入式(7)，則有：

{W}={H(ω)}·eiωt=

(22)

最后，利用前述響應量，按式(22)計算自相關、互相關矩陣及對應統計量。

(23)

這里符號?表示兩矩陣相乘產生一同階矩陣。然后由式(23)可以很容易的利用下式求出其對應的方差值：

(24)

4 工程算例

4.1 工程應用舉例

為驗證本文結論的正確性，選用文獻1給定的算例，結構各相關參數重新列些如下：結構層質量與層剛度分別為：mi=4×105kg，ki=2×108N/m(i=1，2，3)，結構阻尼采用瑞利阻尼，前兩階振型的阻尼比ξ1=ξ2=5%，假定工程所在地的抗震設防烈度為8度，場地土較堅硬，屬于《建筑抗震設計規范》(GB50011—2010)中Ⅰ1類第2組。

4.2 地震地面運動的加速度功率譜模型

為進行隨機振動分析，采用Clough和Penzien建議的零均值平穩雙過濾白噪聲功率譜來描述地面運動，即地震動的單邊功率譜可表達為：

(25)

其中，S0為基巖運動的白噪聲單邊功率譜強度，HkT(ω)為日本金井清-田治見宏建議的過濾器，Hcp(ω)為美國學者克拉夫-彭津提出低頻過濾器。

(26)

(27)

其中，ωg為工程場地的卓越頻率取ωg=20.94，ζg為場地的阻尼比ζg=0.64；ωc和ζc分別為低頻過濾器的特征頻率和阻尼比；取ωc=0.15ωg，ζc=ζg。推算小震作用下單邊功率譜強度為:S0=2×5.247 5×10-4m-2·s-3，大震作用下單邊功率譜強度為: S0=2×1.713 5×10-2m-2s-3，其輸入的功率譜密度曲線見圖2。圖中左縱標表示小震幅值，右縱標表示大震幅值。

圖2 場地土輸入功率譜

4.3 隨機響應分析

為便于討論，僅列出本文算法與LQR算法所得的反饋增益矩陣，從中可以得出：由于粘滯阻尼減震結構僅改變結構的阻尼力而不改變結構的剛度，從而使反饋增益矩陣剛度分量部分的系數全為0，這是LQR算法無法實現的；從矩陣系數來看，采用本文算法提供的阻尼力矩陣與LQR算法提供阻尼力矩陣非常接近，讀者可進一步根據反饋增益矩陣求得控制力矩陣BG進行驗證。

(1) LQR算法所得的反饋增益矩陣：

(2) 本文算法所得反饋增益矩陣：

結構體系在地震作用下，無論是小震作用下的線性響應還是大震作用下的非線性響應(對非線性進行等效線性化)，采用隨機振動的虛擬激勵法求得的位移均方差和速度均方差如表1所示，通過表1可以得出：LQR控制算法和基于最優極點配置的粘滯阻尼控制算都能使結構的隨機響應得到較大程度的減小，且在兩種控制算法下的響應均方差非常接近，最大差異約僅為2%，這主要是由于在較為恰當的Q和R選擇下LQR算法設計的主動控制力主要以阻尼力的形式施加于結構上，但本文提出的最優極點配置下的粘滯阻尼算法的物理意義更明確，也更符合實際，從而也說明本文所提供分析理論的正確性和有效性。

表1 小震下結構隨機響應

表2 大震下結構隨機響應

5 結 論

粘滯阻尼減震結構在土木工程中的大量使用，使得阻尼控制器的最優配置為更多的學者和工程人員所關注，本文在文獻1基礎上對其內容做了進一步探討。由于地震作用的不確定性，采用LQR最優控制算法和粘滯阻尼結構中的最優極點配置算法并結合隨機振動理論對本文給定算例進行了詳細討論，具體結論為：

(1) 由于粘滯阻尼結構僅改變結構的阻尼力而不改變結構的剛度，為獲得剛度系數為0的最優反饋增益矩陣，本文算法給予了較好的實現，這是LQR算法所不能實現的。

(2) 結合隨機振動理論，對給定算例采用兩種算法在大震、小震下進行隨機振動分析，所得結果非常接近，從而驗證了本文所提供算法的正確性和有效性。

[1]杜永峰, 李春鋒, 李慧. 結構主動控制最優極點配置算法研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(19): 95-98.

DU Yong-feng, LI Chun-feng, LI Hui. Optimal pole assignment algorithm for structural active control [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(19): 95-98.

[2]吳從曉, 周云, 鄧雪松,等. 高位轉換粘滯阻尼減震結構阻尼器合理阻尼系數研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(3): 180-184.

WU Cong-xiao, ZHOU Yun, DENG Xue-song, et al. Optimal damping coefficient of viscous damper in high-level transfer story structure [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(3): 180-184.

[3]孫廣俊, 李愛群.安裝粘滯阻尼消能支撐結構隨機地震反應分析[J].振動與沖擊，2009，28(10):117-121.

SUN Guang-jun, LI Ai-qun. Random earthquake response analysis for an energy dissipation structure adding viscous dampers[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(10):117-121.

[4]張微敬, 錢稼茹, 沈順高,等. 北京A380機庫采用粘滯阻尼器的減振控制分析[J]. 建筑結構學報, 2009, 30(2):1-7.

ZHANG Wei-jing，QIAN Jia-ru, SHEN Shun-gao,et al. Vibration reduction analyses of Beijing A380 hangar structure with viscous dampers[J]. Journal of Building Structures, 2009, 30(2):1-7.

[5]聶利英, 李建中, 胡世德,等. 任意荷載作用下液體粘滯阻尼器在橋梁工程中減震作用探討[J]. 計算力學學報, 2007, 24(2):197-202.

NIE Li-ying, LI Jian-zhong, HU Shi-de, et al. Investigation of decreasing vibration effects of fluid viscous damper in bridge engineering under random loads[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(2):197-202.

[6]鄒銀生, 陳敏, 馮承輝. 粘滯阻尼器消能減震結構的簡化設計[J]. 湖南大學學報(自然科學版), 2005,32(6):1-5.

ZOU Yin-sheng, CHEN Min, FENG Cheng-hui. Simplified design method for energy dissipation systems using viscous dampers [J]. Journal of Hunan University (Natural Sciences), 2005,32(6):1-5.

[7]薛素鐸, 王雪生, 曹資. 基于新抗震規范的地震動隨機模型參數研究[J]. 土木工程學報, 2003, 36(5): 5-10.

XUE Su-duo, WANG Xue-sheng, CAO Zi. Parameters study on seismic randon model based on the new seismic code[J]. China Civil Engneering Journal, 2003,36(5): 5-10.

[8]林家浩,張亞輝. 隨機振動的虛擬激勵法[M].北京: 科學出版社,2004: 270-277.

[9]歐進萍, 王光遠.結構隨機振動[M]. 北京:高等教育出版社, 1998: 295-312.

[10]李桂青, 曹宏, 李秋勝, 等. 結構動力可靠性理論及其應用[M]. 北京:地震出版社,1993: 305-315.