數值重構研究重力壩動力模型試驗可靠性

王銘明，陳健云 ，范書立

(1.昆明理工大學 電力工程學院，昆明 650500；2.大連理工大學 海岸與近海國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

經過了汶川大地震，混凝土壩在強震下具有多高的抗震性能我們還不明確。地震的不確定性，大壩的復雜性，缺少高壩強震破壞的實例，不甚了解結構的破壞形式以及震害特點，使目前大壩抗震設計相當程度上仍依賴于傳統經驗，尤其建于強震區的高混凝土壩，可能隱含較大的風險[1-2]。

對于高混凝土壩抗震性能的研究，需要解決非線性破壞演變過程、失效模式以及評價標準等方面的問題[3]。但由于理論分析中很多問題沒有很好的解決而需要對壩體做一定的簡化處理，在強震作用下發生震害的部位、破壞形態以及裂縫擴展范圍、計算模型的合理性和精度難以驗證。所以，在現有數值模型和分析方法的精度及可靠性無法得到準確評估[4]，并在缺乏實際地震破壞監測資料的前提下，模型試驗成為了解高壩動力響應、地震破壞形態以及驗證數值分析方法的一種重要手段[5-8]。但因環境因素及邊界條件等許多因素的影響，模型試驗也有局限性。振動臺模型試驗技術涉及到相似理論、模型材料、測試技術等各個方面，要保持振動臺試驗中模型與原型間的完全相似十分困難，大多情況下只能基于不完全相似技術或相似技巧進行試驗設計，這種簡化的分析對試驗結果的影響并不十分明確，因此，對于高混凝土壩的振動臺模型破壞試驗還有很多方面需要進一步深入研究和探討[9-11]。

動力破壞模型試驗時，為了使結構的變形過程相似，必須在模型中模擬全部荷載，包括各種靜力荷載和動力荷載[12]，表征材料力學性能及變形特性的參數增加，表征材料非線性特性的各參變量之間必須滿足一定的相似關系。這不但要求材料的應力-應變曲線相似，還要保證損傷累積曲線、斷裂特性等相似，模型材料研制上雖取得很大進展，但完全滿足這些要求是非常困難的事情。現階段所采用的模型材料與原型混凝土的軸心受壓變形曲線大體“相似”，但兩者的彈性模量及強度都存在差異，在極限點、臨界點、峰值點、反彎點及收斂點也并不完全保持一定的比尺[13]，尤其在應力-應變曲線的下降段，仿真混凝土材料與普通混凝土相差較大。若要在時程地震分析中嚴格模擬壩體的非線性，則必須依據壩體結構反應的變形量使用不同的彈性模量，這需要在試驗中實時改變相似律，振動臺試驗中再現這一設想顯然是及其困難的。因此仿真模型材料的力學性能以及用于大體積混凝土模型動力破壞試驗的可行性還需要試驗及數值分析的進一步驗證。另一方面，目前大多數模型試驗中所采用的仿真模型材料與普通混凝土的應變比尺并不為1。已有研究表明[14]，在線彈性試驗中應變比尺不為1，對試驗結果并沒有影響，但是在高混凝土壩的非線性動力破壞模型試驗中，應變比尺不為1，對結構破壞形態的影響究竟有多大并不明確，有待于在理論及試驗上對該現象進行進一步的研究。

本文基于仿真模型材料特性，通過數值分析重構模型試驗。數值分析了完全相似及非完全相似模型的試驗過程，將兩種模型的數值結果與原型數值結果相比較，確定非完全相似理論在非線性動力破壞模型試驗中的可行性，以及確定模型試驗中控制參數的選擇及非主要參數對試驗結果的影響。數值仿真與動力模型試驗混合對比研究試驗可靠性的思路如下圖1所示。

圖1 數模-物模混合試驗研究思路

1 非完全相似定律的推導

在仿真動力破壞模型試驗中，由于模型材料的物理力學特性及試驗設備的限制，很難做到試驗模型與原型完全非線性相似。混凝土模型材料很難滿足重力相似律要求的模量及強度比尺之間的關系，峰值應變比尺通常也不為1。我們稱應變比尺不為1的相似定律為非完全相似定律。現對非完全相似理論(λε≠1)進行推導。

1.1 動力模型相似條件

(1) 幾何相似條件

模型試驗時，要求模、原型各部位幾何尺寸保持一定的相似比例關系。根據物體受荷時變形滿足幾何方程ε=u/l，可知幾何相似關系為：

λu=λελl

(1)

式中，λ代表相似比尺，下表u，ε，l分別代表材料的位變、應變及幾何長度。

(2) 物理相似條件

物體受荷時因材料特性而發生變化反應的性質必須相似叫做物理相似條件，也就是模型試驗時表征材料性質的彈模E、剪切模量G、密度ρ、泊松比μ、阻尼ξ及應力狀態等都要滿足相似關系。可由彈性力學物理方程σ=Dε推出相似比尺：

λσ=λEλε,λτ=λGλε

(2)

泊松比為無量綱量，相似比尺λμ應為1，試驗時模型材料不一定能滿足要求。為研究試驗結果的可靠性，文中第3節會對泊松比相似與阻尼相似的影響作進一步探討。

1.2 非完全相似定律

(1) 彈性相似律

(3)

(4)

式(3)為時間比尺的通用形式，與變形比尺λu無關，同時與應變比尺λε無關，因此當應變比尺不為1時，可應用式(2)就得應力比尺。

(2)重力相似率

(5)

(3) 彈性-重力相似

對于動力模型試驗需要同時滿足重力相似與彈性相似，由式(3)、式(5)得出：

(6)

式(6)中應變比尺λε≠1，因此不能約去，為非完全彈性-重力相似律。在動力破壞模型試驗中，通常模型材料的峰值應變比尺不為1，因此還需要對非完全相似模型材料的損傷累積曲線、斷裂特性等相似條件進行研究。

1.3 破壞模型的相似理論

(1) 內力-慣性力-面力相似

對于彈性模型試驗，可用疊加原理將各種荷載逐一施加。在進行破壞模型試驗時，材料進入非線性階段疊加原理不再有效，因此為使結構變形過程相似，必須在模型上同時施加靜力及動力全部荷載，需要滿足內力-慣性力-面力相似：

(7)

(2) 應力-應變關系相似

材料在彈性范圍時可以用彈性模量來表征應力-應變特性。但材料進入非線性后彈性模量實時改變，要表達結構變形破壞過程相似就必須保持原、模型材料的應力-應變曲線相似：

(8)

不同應變率時，材料應力-應變曲線不同，因此，

(9)

式(9)中σp(εi,Tip)表示在原型中以某一加載速率下材料破壞與應變相對應的應力。Tpi與Tmi還應滿足時間比尺關系。

(3) 斷裂韌度相似

進行破壞模型試驗時，要保持原、模型之間斷裂破壞特性相似，需要模型材料的斷裂韌度Kσ與原型混凝土滿足相似關系：

(10)

1.4 簡化混凝土材料破壞模型試驗的相似理論

對于混凝土材料，上一小節破壞模型的相似理論分析中，(1) 內力-慣性力-面力相似和(3)斷裂韌度相似通過調整模型材料配比、調整荷載或配重的方法是可以做到的，但對于(2)應力-應力曲線或累積損傷曲線相似是很難做到的。混凝土是脆性材料，達到拉壓峰值強度時，相似應力-應變比尺關系：λσ=λEλε仍然成立。若將原型混凝土與模型材料的本構關系均簡化為下降段為理想的線性應變軟化模型[15]，這樣，試驗時模型材料損傷前仍為彈性，盡管應變比尺不為1，在上升段應力-應變關系比尺依然成立。這要就滿足的最大應力相似比尺：

(11)

式中：上標p，m分別代表原、模型，下標max代表最大值。

要做到下降段的割線彈模、應力、應變等比尺依然滿足相似條件是很困難的，但可采用斷裂特性表征原、模型材料軟化的相似條件，可以得出與原型相似的模型損傷的試驗結果。因此，通過追求原、模型材料斷裂形態及斷裂特性的相似，可以解決原、模型材料本構關系下降段難以完全相似的問題。很多模型材料的破壞形態與混凝土十分相似；要保證斷裂特性相似則可從斷裂韌度[16]和斷裂能密度[17]兩方面分析。原、模型材料斷裂韌度滿足式(10)即可；如圖2所示，斷裂能密度可由下面公式求得：

(12)

動力破壞模型試驗時應滿足斷裂能密度比尺λGf：

λGf=λσλε

(13)

把模型材料本構關系上升段認為是線彈性的，那么要使其下降段滿足斷裂能比尺式(12)，可以通過在模型材料配比中添加塑性成分調節，如橡膠粉，粘土、膨潤土等。

圖2 非完全相似定律下原型和模型的應力應變關系

2 原-模型壩體非完全相似的數值分析

對Koyna重力壩分別進行了原型、完全相似模型及不完全相似模型的彈塑性損傷地震響應分析。模型試驗中，由于振動臺尺寸及承載能力的限制，壩體模型尺寸一般不會很大，模型中不包括地基部分，因此本數值模型也不包括地基部分。其中，原型壩體高度為103 m，基底寬度為70 m，上游迎水面為直立壩面，地震時蓄水位為91.74 m；原型的彈模E=2.3 GPa，泊松比μ=0.17，單軸抗壓強度fck=24.1 MPa、抗拉強度ftk=2.0 MPa，密度ρ=2 500，斷裂能Gf=120 N/m，動態強度因子d=1.3；計算時，忽略了壓損傷破壞，采用Koyna地震中記錄的順河向及豎直向加速度分量作為輸入地震波，如圖3。

完全相似模型與原型的各個相似比尺為：幾何比尺λl=100，彈模比尺λE=100，應變比尺λε=1，應力比尺λσ=100，泊松比比尺λμ=1，密度比尺λρ=1，時間比尺λt=10，斷裂韌度比尺λKσ=1 000；

以大連理工大學研制的仿真混凝土材料[18-19]為例確定非完全相似模型的各種相似比尺。由于仿真模型材料特性決定密度比尺λρ=0.83，應變比尺λε=2，確定模型的幾何比尺λl=100后，根據非完全相似理論得出彈模比尺λE=166.67，應力比尺λσ=83.33，時間比尺λl=7.07，斷裂韌度比尺λKσ=833.33。

2.1 頻率分析

對上文介紹的三種模型進行模態分析，得出每種模型前4階頻率及振型，分別見表1及圖4。由表1可知，完全相似模型及非完全相似模型的前4階頻率，與原型相應頻率的關系均完全滿足式(4)。圖4可以看出，兩種模型前4階振型與原型前4階振型幾乎沒有區別，沿壩高的動力響應的放大倍數也相同。這說明無論當應變比尺是否為1，模型的振動特性都是滿足相似關系的。

在數值分析中，由于非完全相似模型的密度比尺和應變比尺都不等于1，根據式(6)，得出彈模比尺較完全相似模型小，所以，模態分析時非完全相似模型的頻率較較完全相似模型的小，但是這種變小的頻率仍是滿足非完全相似比尺的，因此非完全相似模型的振型與原型也是相同的。

表1 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四階頻率

圖3 水平和豎直向地震加速度時程圖

2.2 應力及損傷分析

圖5給出了Koyna大壩原型、完全相似模型及非完全相似模型在地震作用下壩體內部最大拉應力的包絡圖。可以看出，完全相似模型顯示的最大拉應力與原型計算的結果在分布上幾乎完全一致，都是在壩體頸部上下游面出現很大的拉應力分布，達到了材料的抗拉強度值；壩踵部位的拉應力分布也較大；在數值上完全滿足應力比尺(λσ=100)的關系；非完全相似模型與前兩者的最大拉應力在分布上雖有所差別，但是在壩體振動的關鍵部位主拉應力的分布以及最大拉應力出現位置與它們是一致的，根據非完全相似的應力比尺(λσ=83.333)，非完全相似模型與原型的主拉應力值也是滿足相似要求的。

在地震作用下，壩體原型及兩種大縮尺相似模型內部拉損傷演化，如圖6所示。從三種數值模型的損傷發展過程可知，完全相似模型的損傷發展過程是幾乎完全以至于壩體原型的，各個部位開裂的時間點也是完全符合時間比尺(λt=10)的。壩體原型在t=2.932 s時刻下游折坡位置首先開裂，并向上游延伸；緊接著t=3.142 s時刻壩踵部位開裂，t=4.562 s時刻與下游裂縫相對應的上游部位發生開裂；最終地震結束時壩體頸部裂縫貫穿，如圖6(prototype)；非完全相似模型的損傷演化過程是首先在t=0.411 2 s時刻下游折坡位置出現裂縫，并向上游延伸；在t=0.439 8 s時刻壩踵開裂；t=0.369 6時刻與下游裂縫相對應的上游部位出現向下游延伸的裂縫；最終模型壩體頸部被裂縫貫穿，如圖6(model(ε≠1))。雖然非完全相似模型各部位發生損傷的時刻較完全相似模型略有滯后，但其各個震害部位發生開裂的順序是一致的，開裂的時間點也是符合非完全相似時間比尺(λt=7.07)的，模型壩體最終的損傷分布也是十分一致的，如圖6(model(ε=1))與圖6(model(ε≠1))。

圖4 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四階振型

已有文獻指出[14]，在非線性損傷模型試驗中，如果原、模型材料的應變比尺不等于1，完全相似理論將不再適用。從大壩原型、完全相似模型及非完全相似模型數值計算的各種結果可以看出，在材料應變比尺不等于1的模型試驗中，采用非完全相似定律，并通過調節模型材料配比使其本構曲線下降段不至于過陡，保證其斷裂韌度或斷裂能滿足一定的相似要求，就可以應用不能完全滿足所有相似關系的模型材料來進行仿真動力模型破壞試驗，并可得到準確可靠的試驗結果。

表2 原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大應力及開裂時刻

圖5 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大拉應力的包絡圖

圖6 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型拉損傷的演化

3 其他相似比尺的進一步研究

3.1 泊松比比尺的影響

事實上，試驗時所用模型材料與原型混凝土的泊松比還是有一定差別的。大連理工大學研制的仿真模型材料的泊松比與常態混凝土有所不同，約為0.2。對非完全相似模型的泊松比去取0.2進行模態分析得前4階頻率分別為19.09 Hz、48.285 Hz、76.359 Hz、92.714 Hz，與泊松比比尺λμ=1時的非完全相似模型基頻的差別在0.1%以內，高階頻率的差別也在0.5%以內；前4階振型如圖7所示。看圖可知，計算得非完全相似模型壩體的前4階振型與前文μ=0.17的模型振型結果幾乎沒有區別；高階振型沿壩高動力響應的放大倍數有微小不同，可以忽略。可見，采用泊松比為0.2的模型材料進行動力模型試驗不會對結果產生不良影響。關于這點，文獻[13-14]也有明確說明，文獻[14]指出，泊松比在0.17～0.25時，泊松比比尺λμ=1不完全必要。

圖7 μ=0.2的非完全相似模型模態分析的前四階振型

3.2 阻尼比尺的影響

無論是結構阻尼還是材料阻尼都會對結構的動力響應產生影響，但是迄今為止阻尼理論還有待于進一步研究。目前的研究中粘滯阻尼與復剛度阻尼理論應用的較為廣泛。根據量綱分析法，阻尼的量綱為mT-1，阻尼比η=ξ/2mω(ω為圓頻率)，所以原-模型阻尼比比尺λη=1。一般壩體結構的阻尼比為2%～5%。本文計算中應用了Rayleigh阻尼。由于Rayleigh阻尼的比例常數與結構的各階頻率有關[20]：

(14)

式中：ξ為臨界阻尼比，一般取0.05；建議ωm取基頻，ωn取一個高階頻率。這樣，可以分別用原型或模型的頻率計算出相應的Rayleigh阻尼。

4 結 論

通過理論推導，給出當原、模型材料應變比尺不為1的非完全相似定律，并提出針對模型材料本構關系下降段的斷裂特性相似的處理技巧。根據大連理工大學研制仿真混凝土材料的特性，數值重構了應變比尺λε=2的非完全相似模型，與原型及完全相似模型的計算結果相比較發現：

(1) 非完全相似模型的各階頻率雖然與完全相似模型有所不同，但仍原型的相應頻率保持很好的相似關系，其振型也與原型及完全相似模型的振型保持一致；

(2) 非完全相似模型壩體內部最大拉應力的分布與原型及完全相似模型雖略有差別，但壩體振動的關鍵部位主拉應力的分布是一致的，在數值上也滿足非完全相似應力比尺的相似關系；

(3) 在地震中，非完全相似模型壩體內部拉損傷發生的部位與原型及完全相似模型幾乎完全相同，在裂縫的發展演化過程上也嚴格滿足時間比尺的相似要求；

(4) 泊松比比尺不為1時對試驗結果的影響分析表明，得出當模型材料的泊松比由0.17變為0.2時，對模型前四階頻率及振型的影響不超過0.5%，這與從前的報道是一致的；本文計算中分別用臨界阻尼比及原、模型各自的頻率計算相應的Rayleigh阻尼，從而解決動力模型試驗中阻尼相似要求的問題；

(5) 通過數值重構模型試驗與原型數值分析結果比較，表明盡管由于試驗設備、試驗條件的限制，對模型的設計進行了某些簡化，模型材料的特性雖不能完全滿足所有相似比尺的要求，但通過對模型材料的特殊處理，并采取一定的相似處理技巧是對得出相對穩定可靠的試驗結果是有幫助的。

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