高中數學教學中函數的對稱性教學分析

溫福云

【摘要】數學是一門發展歷史久遠且應用廣泛的重要學科。現代社會的發展要求學生能夠良好地掌握數學知識，尤其是高中的數學知識，對學生的學業存在著至關重要的影響。函數作為高中數學中的一部分，一直都是各類考試中的重點和熱點。函數有很多基本性質，對稱性就是其中之一，在解決各類數學問題時，對稱性由于其簡單、快捷被應用的非常廣泛。本文結合具體的教學實例，對高中教學中函數的對稱性教學進行了探析。

【關鍵詞】高中教學；函數對稱性；分析探究

對稱是一種美，廣泛存在于生活的方方面面。函數的對稱性也屬于這美的一種，另外將對稱性的性質進行合理地利用還能幫助學生增強創新能力，豐富其邏輯思維。所以，高中數學的函數對稱性教學是非常重要的一項環節，教師之間應當多進行交流，以商討出良好的教學方法和方案，推動高中數學教學的發展。

1 對函數對稱性的分析

函數圖像自身的對稱分為軸對稱和中心對稱，有的函數圖像與圖像之間也存在對稱。不同的函數對稱的位置也不同。教材中闡述了一些關于此方面的性質，如奇函數關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱等等。舉數學的函數定理來進行對稱性探究，例1.定理：函數y=f(x)的圖像關于點A(xl，y1)對稱的充要條件是f(2xl-x)+f(x)=2yl。

證明：必要性：設函數y=f(x)的圖像上存在任意一點P(x，y)

因為點P(x，y)關于點A(xl，y1)的對稱點P(2xl-x，2yl-y)也在y=f(x)的圖像之上，

所以2 yl-y=f(2xl—x)也就是2yl=f(2xl-x)+y

因此，2yl=f(x)+f(2x1-x)必要性得到證明

充分性：設函數y=f(x)上存在任意一點p(xl，y1)，那么，y=f(x1)

因為f(2xl-x)+f（x)=2y1所以f（xl）+f(2xl-x1)=2yl，也就是2yl-yl=f(2xl-x1)

所以點(2x1-xl，2y1-y1)也在函數y=f(x)的圖像上，點P與點P關于點A(xl，y1)對稱，充分性得到證明。

推論：函數y=f(x)關于原點對稱的充要條件是f(-x)+f(x)=O

例2.若函數 y=f(x)圖像既關于點A(a，c)成中心對稱又關于直線 x=b成軸對稱(a≠6)，

則y=f(x)是周期函數，且2|a-b|是其一個周期．

因為函數 y=( x)圖像關于點A(n，c)成中心對稱，

所以f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x帶入x,得f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c （1）

又因為函數y=f(x)圖像關于直線 x=b成軸對稱，所以f(2b-x)=f(x)代入（1）得f(x)=2c-f[2(a-b)+x].（2）用2(a-b)-x代入x，得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x],代入（2）得f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函數,且4|a-b|是其一個周期。

事實表明，數學具有千變萬化的題型，教師在給學生進行練習題的布置時，不能只是單純的運用題海戰術。畢竟題是做不完的，教師在留給學生題目時應當對其中所包含的知識點進行反復挖掘，并引申出相應的變式，讓學生獨立思考進行比較和分析，深層次地學習概念相似及方法相通的類型題，對原來所用的方法有更透徹的理解。避免學生慣性思維的反復出現，最終達到學生自己做題時也能夠舉一反三的效果。

除卻函數對稱性自身可以出現的題目，它的應用類型題也非常廣泛。例1.：設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)=-f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)=()

A．0.5B．-0.5 C．1.5 D．-1.5

解：因為y=f(x)是定義在R上的奇函數，所以點(O，O)是其對稱中心．

又因為f(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x)

所以直線x=1是 y=f(x)對稱軸，故 y=f(x)是周期為2的周期函數．

所以f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0．5)=-f(0. 5)=-0. 5

故選B．

例2.(第十二屆希望杯高二第二試題)定義在R上的非常數函數滿足：f(1O+x)為偶函數，

且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定是()

A．是偶函數，也是周期函數

B．是偶函數，但不是周期函數

C．是奇函數，也是周期函數

D．是奇函數，但不是周期函數

解：因為f(10+x)為偶函數，所以f(10+x)=f(10-x), 所以f(x)有兩條對稱軸 x=5與x=1O．

因此f( x)是以10為其一個周期的周期函數，所以x=0，即y 軸也是f(x)的對稱軸，

因此f(x)還是一個偶函數．故選A.

由此可見，函數對稱性在解決函數的問題時有至關重要的作用。教師在進行函數的對稱性教學過程中，應加強學生對概念本質的理解和掌握，只有學生獨立的對問題進行思考和創新，才會體驗到數學學習的樂趣，從而提高其學習興趣，達到事半功倍的教學效果。

2 數學函數對稱性的教學策略探究

2.1設置合理的教學課程

函數對稱性內容及其思想方法在數學學科中占有非常重要的作用，按照數學教學理念的要求，教學應當加強數學知識和實際生活的聯系，并側重于知識的應用層面。所以，希望在函數對稱性的教學過程中，能夠進一步加強對其規律特征的探究分析，并合理的設置課程，安排好對此項內容的要求標準。

2.2進行專門的函數對稱性知識講解

由于現在中國的教學仍處在應試教育這樣一個大環境下，課堂教學的內容和重點通常是考試大綱中所規定的那些，關于培養學生數學美感和思維視野方面的知識少之又少，成套的數學知識體系講解完全是為了應試，為了高分。大部分教師為使學生拿到好成績，基本不做課外知識的講述，本來是創造性地發散思維的學科卻只充滿了刻板的講解和枯燥乏味、無休止的練習。學生完全感受不到數學的美妙思想和其與實際生產生活的緊密聯系，降低了學習的興趣，埋葬了創新的潛力。因此，教師在知識的傳授過程中除了講授考試規定的成套數學體系，一定還要給學生講解數學知識在實際生活中的應用，各種不同的數學方法，有何科學成果及與其他學科之間存在的關聯，還應講述數學中存在的美和各種能體現這些美的事物。高中數學的函數對稱性就很能表現數學之美，并且其思想方法有很廣泛的應用和作用。所以，應當對函數對稱性章節的知識進行詳細的講解和專門的輔導，提高學生對數學的學習興趣，培養探究各種數學方法的能力，了解并重視數學思想，從而使學生的數學素養得以提高，為數學的長期性學習奠定良好的基礎。

3 結束語

本文對高中數學中的函數對稱性知識進行了部分講解，論述了此階段內容乃至整個數學學科學習的重要性，指出教育工作者應盡的義務，并對函數對稱性的教學方法和策略進行了探究性分析。文章旨在推動我國高中數學教育事業的發展，希望今后的教育教學工作能夠更加順利的進行。

參考文獻：

[1]王聯華.高中數學教學中函數的對稱性教學研究[J].成功（教育版）,2013,(2):44.

[2] 李紅偉.函數對稱性的探究[J].上海中學數學,2012,(3):45-46.

[3]張峰.函數對稱性的探究[J].大觀周刊,2012,(34):326-326.

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