學習函數奇偶性應注意的幾個問題

李海燕

摘 要：函數奇偶性是函數的重要性質之一。主要以技工院校的數學教學大綱為依據，分別對函數奇偶性的定義、性質、函數奇偶性的判別方法及函數奇偶性的應用四方面進行探討。

關鍵詞：奇函數；偶函數；函數的奇偶性

函數是技工院校公共基礎課《數學》的核心內容之一，而函數的奇偶性則是函數的一大特性。學好函數的奇偶性，可用它簡化作圖，而且在后續學習的《高等數學》中也有廣泛應用。因此，筆者認為有必要對此性質進行探討。

二、關于函數奇偶性的性質問題

根據函數奇偶性定義，可總結函數奇偶性幾個重要性質。①對稱性。奇（偶）函數的定義域關于原點對稱。定義域沒有限定是什么，它可以是關于原點對稱的區間，也可以是關于原點對稱的離散的點集。②整體性：函數的奇偶性是整體性質，對定義域內任一個x都必須成立。僅在定義域內的一個真子集中討論函數的奇偶性是沒有意義的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函數，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函數 函數是技工院校公共基礎課《數學》的核心內容之一，而函數的奇偶性則是函數的一大特性。學好函數的奇偶性，可用它簡化作圖，而且在后續學習的《高等數學》中也有廣泛應用。因此，筆者認為有必要對此性質進行探討。

一、關于函數奇偶性的定義問題

（1）如何定義函數奇偶性。①一般地，如果對于函數f（x）在定義域M內的任一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）叫偶函數。②一般地，如果對于函數f（x）在定義域M內的任一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）叫奇函數。

（2）學習函數奇偶性的定義應注意如下幾點。①x∈M，且為任意實數，而不是某一個。不少同學常用具體某一個數代入計算來判斷函數奇偶性，這是對函數奇偶性定義的片面理解造成的。②-x必須在定義域M內。③f（-x）與f（x）有且只有兩種情況：相反或相等。

二、關于函數奇偶性的性質問題

根據函數奇偶性定義，可總結函數奇偶性幾個重要性質。①對稱性。奇（偶）函數的定義域關于原點對稱。定義域沒有限定是什么，它可以是關于原點對稱的區間，也可以是關于原點對稱的離散的點集。②整體性：函數的奇偶性是整體性質，對定義域內任一個x都必須成立。僅在定義域內的一個真子集中討論函數的奇偶性是沒有意義的。③可逆性：f（-x）=-f（x）?f（x）是奇函數，f（-x）= f（x）?f（x）是偶函數。④等價性：f（-x）=-f（x）?f（-x）+ f（x）=0， f（-x）=f（x）?f（-x）- f（x）=0. ⑤圖像的對稱性：1）奇函數的圖像關于原點對稱。2）偶函數的圖像關于y軸對稱。但如果反過來說還成立嗎？3）關于原點對稱的圖像是奇函數。4）關于y軸對稱的圖像是偶函數。顯然，這樣的說法是錯誤的，例如以原點為圓心的單位圓x2+y2=1，它的圖像關于原點對稱也關于y軸對稱，而它的圖像卻是由兩個偶函數的圖像拼接而成，可見x2+y2=1并不具有奇偶性。然而，這樣的兩個結論也是正確的：5）如果一個函數的圖像關于原點對稱，則這個函數是奇函數。6）如果一個函數的圖像關于y軸對稱，則這個函數是偶函數。因為這兩點說明了所論的曲線為某函數的圖像，由函數定義知道，它與平行y軸的直線只有一個公共點，即有唯一的值。

三、關于函數奇偶性的判別方法問題

如何判斷一個函數的奇偶性？其實，函數奇偶性的判別方法有很多種，下面筆者將以定義判定法為例進行分析。判斷函數的奇偶性有兩個重要的步驟：①先看定義域是否關于原點對稱；②當定義域關于原點對稱時，再驗證f（-x）=-f（x）或f（-x）= f（x）對于定義域中的任意x是否成立。兩個步驟中，第一步最重要，如果不能滿足第一條件，即使第二條件成立也不能判斷函數的奇偶性。在平時的學習中，很多學生只利用第二步來判斷函數的奇偶性，這是錯誤的做法。根據上述步驟，我們可以把函數按奇偶性分為：奇函數、偶函數、非奇非偶函數、既是奇函數也是偶函數四種類型。

總之，函數奇偶性是函數的重要性質之一，學生在學習函數奇偶性的過程中，應深刻理解函數奇偶性的概念，靈活運用函數奇偶性的判斷方法，在應用上才能得心應手，運用自如。

參考文獻：

[1]張淼.函數奇偶性的判定方法[J].數理化學習，2012（9）.

[2]王賽.函數奇偶性的判定及其應用[J].教育界，2013（27）.

（廣東湛江市技師學院）

總之，函數奇偶性是函數的重要性質之一，學生在學習函數奇偶性的過程中，應深刻理解函數奇偶性的概念，靈活運用函數奇偶性的判斷方法，在應用上才能得心應手，運用自如。

參考文獻：

[1]張淼.函數奇偶性的判定方法[J].數理化學習，2012（9）.

[2]王賽.函數奇偶性的判定及其應用[J].教育界，2013（27）.

（廣東湛江市技師學院）