論高等數學極限思想中所蘊涵的哲學思想

張敏　張道振　陳宇劍

摘要：高等數學中重要的概念均建立在極限基礎之上，而極限思想蘊涵著豐富的辯證法思想，深刻領悟這些哲學思想對掌握高等數學有著極其重要的意義。

關鍵詞：高等數學；極限；哲學思想

高等數學屬于自然科學，但其中蘊涵著豐富的哲學思想。在教學中，教師如果能充分挖掘高等數學中的哲學思想，用哲學的觀點和思維方法來指導高等數學教學，不僅可以培養學生的辯證唯物主義思想，提高學生的哲學素養，還可以使學生從新的角度來認識數學、理解數學、感受數學。

極限是一種研究變量變化趨勢的數學方法，體現了辯證法思想。理解極限概念和其思想中所蘊涵的哲學思想，對掌握高等數學有著極其重要的意義。

一、量變引起質變規律極限思想體現了量變引起質變的規律。量變引起質變規律揭示了事物發展變化形式上具有的特點，當量的變化達到一定程度會引起質的變化。質變不僅可以完成量變，而且為新的量變開辟道路。在高等數學極限概念的引入中，為求曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率，首先在曲線上另取一點Q，并求割線PQ的斜率；然后讓點Q沿曲線無限地趨近點P，割線的極限位置即是曲線在點P處的切線，而割線PQ斜率的極限就是切線的斜率。在點Q沿曲線無限趨近點P的動態過程中，割線PQ的斜率在不斷地發生變化，越來越接近切線斜率，但這只是一個量變的過程，它表示的終究是割線的斜率，而不是切線的斜率。只有當點Q到達極限位置即點Q與點P重合時，割線PQ的斜率才發生質變，成為切線的斜率，體現了量變引起質變的規律。

二、對立統一規律極限是從有限到無限的工具和橋梁，無論是概念的引入還是概念本身，都體現了變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確的對立統一。例如，對于數列an={1/n}，其極限為0。數列中的每一項an的值在不斷變化，這個過程是動態的，項數也是有限的，但是，當項數n無限增大時，an無限趨近于一個確定的常數0，這個無限運動變化的結果是一個數值，因此在極限思想中無限是有限的發展，有限是無限的結果，是對立統一的。再例如，剛才所說的割線斜率的極限是切線斜率，也體現了過程與結果、變與不變的對立統一。割線斜率在不斷變化，且不斷接近切線斜率，但不管多么接近于切線斜率，畢竟是近似值，而不是精確值，只有無限接近時，才轉化為精確值，這個精確值是個不變量，充分體現了近似與精確、變與不變的對立統一。

三、否定之否定規律任何事物的內在矛盾都可以歸結為肯定和否定兩個方面，當由肯定達到對自身的否定，并再由否定達到新的肯定，則稱之為否定之否定。高等數學的理論發展都符合否定之否定的規律。在理論形成之初，理論得到肯定，但隨著研究的深入，理論就會不完善，從而被否定，進而被研究完善得到新的肯定。就極限概念而言，16世紀英國數學家瓦里斯最早引入變量極限的概念：“變量的極限是變量所能最大程度逼近的一個常數，使得它們的差能夠小于任何給定的量。”這是極限概念的雛形。17世紀法國數學家柯西首次較完整地闡述了極限概念。他用描述性語言給出極限概念：當一個變量逐次所取得的值無限趨近一個定值，最終使變量的值和該定值之差要有多小就有多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值。特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減少，使之收斂到極限0，就說這個變量為無窮小。柯西的極限概念仍然是初步的和不清楚的，沒有達到徹底嚴密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，18世紀維爾斯特拉斯提出了極限的精確定義，即ε-N定義，給微積分提供了嚴密的理論基礎。極限概念不斷發展完善的過程反映了哲學中否定之否定規律。否定之否定經過一個周期的運動回到了起點，又高于起點。

數學家波爾達斯指出：“沒有哲學，難以得知數學的深度，當然也難以得知哲學的深度，兩者相互依存。還應特別指出，如果既沒有數學又無哲學，則不能認識任何事物。”數學與哲學關系緊密，因此在高等數學的教學中，不能忽視哲學思想的滲透，這樣才能更好地發展數學，保持數學之樹常青。當然，引導學生領悟數學思維中的哲學思想和在哲學思想的指導下進行數學思維培養，是提升學生數學素養和提高學生分析問題、解決問題能力的重要方法和手段，作為教育工作者應該重視在教學過程中滲透哲學思想。