運(yùn)用綜合法與分析法進(jìn)行初中幾何證明教學(xué)

范娟

摘 要 初中幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國(guó)廣大教育工作者的認(rèn)可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書(shū)寫(xiě)方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會(huì)是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會(huì)人思維規(guī)則意識(shí)的教育價(jià)值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-0022-02

上個(gè)世紀(jì)，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個(gè)方面引領(lǐng)世界的中國(guó)”，而偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛(ài)因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時(shí)期）發(fā)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)可能找出因果關(guān)系。在我看來(lái)，中國(guó)的賢哲沒(méi)有走上這兩步……”

時(shí)至今日，也許是被“愛(ài)因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國(guó)教育界對(duì)幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力的教育價(jià)值有了深刻的認(rèn)識(shí)，在歐美主要發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時(shí)，我國(guó)在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對(duì)幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對(duì)幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒(méi)有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過(guò)程不能過(guò)繁，一切從簡(jiǎn)，但證明的過(guò)程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密、證明過(guò)程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其難點(diǎn)在于如何運(yùn)用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、嚴(yán)密邏輯思維推理、語(yǔ)言組織表達(dá)等能力。而教師在平時(shí)教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書(shū)寫(xiě)證明張冠李戴，欠缺嚴(yán)密邏輯推理等，更有甚者是毫無(wú)頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過(guò)渡，而學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明，沒(méi)有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語(yǔ)言表達(dá)方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問(wèn)題、書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅(jiān)持在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用，取得了良好的效果。請(qǐng)看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點(diǎn)，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問(wèn)題中較難的一道利用全等三角形解決的問(wèn)題，分析過(guò)程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號(hào)右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過(guò)程中的“︷”表示實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實(shí)現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書(shū)出來(lái)的過(guò)程，不僅能顯示解題過(guò)程的來(lái)龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書(shū)寫(xiě)的幾何教學(xué)原則。分析過(guò)程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細(xì)流匯入到解題的主體思路中來(lái)。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問(wèn)題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語(yǔ)言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識(shí)、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint

摘 要 初中幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國(guó)廣大教育工作者的認(rèn)可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書(shū)寫(xiě)方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會(huì)是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會(huì)人思維規(guī)則意識(shí)的教育價(jià)值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-0022-02

上個(gè)世紀(jì)，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個(gè)方面引領(lǐng)世界的中國(guó)”，而偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛(ài)因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時(shí)期）發(fā)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)可能找出因果關(guān)系。在我看來(lái)，中國(guó)的賢哲沒(méi)有走上這兩步……”

時(shí)至今日，也許是被“愛(ài)因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國(guó)教育界對(duì)幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力的教育價(jià)值有了深刻的認(rèn)識(shí)，在歐美主要發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時(shí)，我國(guó)在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對(duì)幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對(duì)幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒(méi)有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過(guò)程不能過(guò)繁，一切從簡(jiǎn)，但證明的過(guò)程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密、證明過(guò)程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其難點(diǎn)在于如何運(yùn)用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、嚴(yán)密邏輯思維推理、語(yǔ)言組織表達(dá)等能力。而教師在平時(shí)教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書(shū)寫(xiě)證明張冠李戴，欠缺嚴(yán)密邏輯推理等，更有甚者是毫無(wú)頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過(guò)渡，而學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明，沒(méi)有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語(yǔ)言表達(dá)方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問(wèn)題、書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅(jiān)持在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用，取得了良好的效果。請(qǐng)看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點(diǎn)，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問(wèn)題中較難的一道利用全等三角形解決的問(wèn)題，分析過(guò)程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號(hào)右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過(guò)程中的“︷”表示實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實(shí)現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書(shū)出來(lái)的過(guò)程，不僅能顯示解題過(guò)程的來(lái)龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書(shū)寫(xiě)的幾何教學(xué)原則。分析過(guò)程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細(xì)流匯入到解題的主體思路中來(lái)。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問(wèn)題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語(yǔ)言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識(shí)、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint

摘 要 初中幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國(guó)廣大教育工作者的認(rèn)可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書(shū)寫(xiě)方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會(huì)是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會(huì)人思維規(guī)則意識(shí)的教育價(jià)值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-0022-02

上個(gè)世紀(jì)，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個(gè)方面引領(lǐng)世界的中國(guó)”，而偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛(ài)因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時(shí)期）發(fā)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)可能找出因果關(guān)系。在我看來(lái)，中國(guó)的賢哲沒(méi)有走上這兩步……”

時(shí)至今日，也許是被“愛(ài)因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國(guó)教育界對(duì)幾何演繹推理對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力的教育價(jià)值有了深刻的認(rèn)識(shí)，在歐美主要發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時(shí)，我國(guó)在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對(duì)幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對(duì)幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒(méi)有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過(guò)程不能過(guò)繁，一切從簡(jiǎn)，但證明的過(guò)程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密、證明過(guò)程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其難點(diǎn)在于如何運(yùn)用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、嚴(yán)密邏輯思維推理、語(yǔ)言組織表達(dá)等能力。而教師在平時(shí)教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書(shū)寫(xiě)證明張冠李戴，欠缺嚴(yán)密邏輯推理等，更有甚者是毫無(wú)頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過(guò)渡，而學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明，沒(méi)有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語(yǔ)言表達(dá)方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問(wèn)題、書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅(jiān)持在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用，取得了良好的效果。請(qǐng)看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點(diǎn)，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問(wèn)題中較難的一道利用全等三角形解決的問(wèn)題，分析過(guò)程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號(hào)右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過(guò)程中的“︷”表示實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實(shí)現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書(shū)出來(lái)的過(guò)程，不僅能顯示解題過(guò)程的來(lái)龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書(shū)寫(xiě)的幾何教學(xué)原則。分析過(guò)程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細(xì)流匯入到解題的主體思路中來(lái)。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問(wèn)題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語(yǔ)言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識(shí)、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint