磁聚焦問題中“最小面積”的探討

(山西省太原市第十二中學校，山西 太原 030002)

通常把通過磁場的作用，使一束帶電粒子流會聚于一點的過程叫做磁聚焦，這種作用類似于凸透鏡使平行光線聚焦于透鏡的焦點.高中物理有不少以磁聚焦為背景的問題,讓我們先來看一道海南省的高考題:

圖1

如圖1，ABCD是邊長為a的正方形.質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度，沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場.電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場.不計重力，求：

(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；

(2)此勻強磁場區域的最小面積.

情形1:電子先做勻速直線運動，后做勻速圓周運動

圖2

(2)由(1)中決定的磁感應強度的方向和大小，可知自C點垂直于BC入射的電子在A點沿DA方向射出，且自BC邊上其它點垂直于入射的電子的運動軌道只能在BAEC區域中.因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區域的一個邊界.

情形2:電子先做勻速圓周運動，后做勻速直線運動

以上考慮的是電子先做勻速直線運動，進入磁場再做勻速圓周運動直到從A點穿出.我們很自然地想到,電子也可能先在磁場中做勻速圓周運動，再離開磁場做勻速直線運動，并通過A點.

圖3

圖4

圖5

由曲線APB與x軸圍成的面積

兩種情形的結果完全相同!所以在情形2陰影區域的面積也應該是該題所求的最小面積，只不過情形2中磁場區域的形狀與情形1中的不同，可見該題的答案不是唯一的.為什么會出現這兩種不同的情況?事實上處在BC右側同一高度的電子在兩種不同形狀的“最小磁場”中的偏轉角度完全相同.如從C進入的電子偏轉角度都是90°，從B進入的都未發生偏轉，也易算得從BC中點進入的電子偏轉角度都是30°.其實兩個不同形狀的磁場面積實際上是所有從BC邊界進入的電子的軌跡構成的面，把圖2中所有軌跡向右平移到BC邊界就是圖5中最小面積的形狀.通過對本題兩種不同的解的對比，不難看出“先直線運動，后圓周運動”與“先圓周運動，后直線運動”體現了物理過程的對稱之美；而兩解“最小面積”完全相同，則體現了物理學的多樣統一之美.