運(yùn)用速度-時間圖像對追及問題與傳送帶問題進(jìn)行類比分析

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二14班，江蘇 南京 210003)

在高中力學(xué)的學(xué)習(xí)中，傳送帶問題是一類比較經(jīng)典的題型.這類題型大多物理情景模糊，條件隱蔽、過程復(fù)雜，也因此成為不少學(xué)生困惑的難點(diǎn).而追及問題的物理圖像較為清晰，本文首先應(yīng)用v-t圖像分析追及問題，然后將追及問題與傳送帶問題進(jìn)行類比，并以v-t圖像為紐帶在二者之間尋找聯(lián)系，抓住圖像解題過程中的一些要點(diǎn)，從而分析兩者共通的解題思路，降低此類題型的解題難度.

1 運(yùn)用v-t圖像求解追及問題

v-t圖像表達(dá)了物體運(yùn)動的速度隨時間的變化規(guī)律.速度圖線斜率的大小等于加速度的大小.下面以兩個均作勻加速直線運(yùn)動的物體為例，淺析一下v-t圖像求解兩物體追及問題時的幾個要點(diǎn).

例1 甲、乙兩物體同時同向作勻加速直線運(yùn)動，一開始甲在后，乙在前，兩者相距x0.甲的初速度為v1，加速度為a1；乙的初速度為v2(v1>v2)，加速度為a2，問兩物體是否會相遇？

我們可以作出兩物體的v-t圖像，它們與v軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)代表兩物體的初速度v1和v2，速度圖像與t軸圍成的“面積”表示物體在Δt時間內(nèi)的位移，那么甲乙的位移之差的大小就是兩者與t軸圍成的“面積”之差，即Δs.而兩者的距離L則是兩者的初始距離x0減去兩物體的位移差，即L=x0-Δs.對于這道題，我們可以根據(jù)甲和乙的加速度對比，分兩種情況討論.

圖1

(1)當(dāng)甲的加速度大于等于乙時，即a1≥a2，甲、乙兩物體的v-t圖像如圖1所示.隨著時間t的增加，兩物體的v-t圖線與t軸圍成的“面積”之差Δs會不斷變大.由L=x0-Δs可知，當(dāng)x0=Δs時，甲會追上乙.

圖2

(2)當(dāng)甲的加速度小于乙時，即a1x0時，由L=x0-Δs可知，L=0的情況會出現(xiàn)兩次，那么甲不僅可以追及上乙一次，之后甲又會被乙反追上一次，即兩者可以相遇兩次.而當(dāng)Δs極值=x0時，甲只能追及上乙一次.如果Δs極值

我們發(fā)現(xiàn)兩條v-t圖線的交點(diǎn)時刻(不一定會有)以及此時的位移差大小Δs極值往往是解題的關(guān)鍵.我們不妨來關(guān)注它們，在交點(diǎn)位置時兩者速度相等，位移差Δs就出現(xiàn)了一個極值，這個極值往往決定了兩物體能否相遇.因此，t1時刻及0-t1時間內(nèi)速度圖線與圍成的“面積”Δs極值是解決追及問題的關(guān)鍵.

2 運(yùn)用v-t圖像求解傳送帶問題

在高中力學(xué)各類題型中，傳送帶問題的難度一直比較大，但傳送帶問題在運(yùn)用圖像法解題時，可以發(fā)現(xiàn)其v-t圖像與追及問題有類似之處，因此可以嘗試將兩者進(jìn)行類比分析.作兩條v-t圖線，一條代表傳送帶上物體的速度，另一條代表傳送帶的速度.我們將傳送帶看做是追及問題的一個對象，問題就變成了物體“追”傳送帶的問題，下面以例2說明這種思路.

圖3

例2 如圖3所示，一條長為l的傳送帶沿逆時針以v的速度勻速運(yùn)動.一個不計(jì)長度的小木塊以v0(v0

圖4

對于這道題，我們可以作木塊和傳送帶的v-t圖像.如圖4所示，實(shí)線代表木塊的運(yùn)動速度隨時間的變化；水平虛線表示的是傳送帶的勻速直線運(yùn)動.圖4中t1時刻代表木塊的速度與傳送帶的速度相等的時刻.以t1為分界，我們把該圖像分為Ⅰ、Ⅱ兩個階段.在階段Ⅰ中，木塊初速度為v0，因?yàn)関0

(1)當(dāng)gsinθ>μgcosθ時，物體具有加速度a2=gsinθ-μgcosθ>0，這個加速度大小就是圖4中階段Ⅱ中圖線①的斜率.

(2)當(dāng)gsinθ≤μgcosθ時，這種情況下摩擦力的為靜摩擦力，與重力沿傳送帶方向的分力相平衡.小木塊和傳送帶保持相對靜止，處于勻速直線運(yùn)動狀態(tài).此時加速度a2=0，v-t圖像如圖4中階段Ⅱ中圖線②所示.

分析清楚木塊運(yùn)動的v-t圖線之后，木塊運(yùn)動的距離s可以由v-t圖像與t軸圍成的“面積”表示，求解s=l時t的大小，就可以解決這道題了.

3 小 結(jié)

追及問題和傳送帶問題在運(yùn)用v-t圖像求解時，有類似之處，也有不同之處.類似之處在于兩條v-t圖線的交點(diǎn)，即兩物體速度相等的時刻往往都是解題的關(guān)鍵.在追及問題中，這一點(diǎn)代表兩者的位移差出現(xiàn)極值；而在傳送帶問題中，達(dá)到相同的速度的時刻是摩擦力突變之時，而摩擦力的突變帶來了加速度的突變.

(指導(dǎo)教師：南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 陳 明)

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