讓學生動起來

王吉明

“函數的零點”是“函數與方程”一節的第一部分內容，它是學生在相對比較系統地學習了函數的概念、性質、圖像的基礎上，繼續學習的一個新內容，它承接了前面的函數知識，是學習后面“二分法”的基礎，也是函數與方程關系的重要體現.根據本節內容的特點和我們學生現有的認知水平，我在備課、上課等環節上做了一些文章，通過教學實踐，不論是教師的“教”還是學生的“學”，都有很大的收獲.

一、在情境引入上做文章

在備課時，我考慮到盡管學生在初中已經學了基本函數的圖像及其性質，但教學的起點仍不能太高，所以我在引入時先讓學生畫出下列函數的圖像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在學生順利完成了這幾個常見的基本函數圖像后，我又出示一組問題，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.對于第三個方程，學生感覺無從下手，但又發現這個問題和剛才要求畫的圖像有點關聯.學生經過一番思考后，很快發現它的結果是無解.我在此基礎上讓學生思考上述函數與對應方程之間的關系，從而引出“函數的零點”的概念，并很好地借助上面的兩組題目從兩個方面給出零點的解釋.

二、在設問上做文章

本節課幾個關鍵設問的地方分別是：

1.我在零點概念的引入過程中，完成了畫函數圖像、解方程之后，問學生：“這兩組問題之間有什么關聯？”學生清楚地認識到函數圖像是從形上表達，方程是從數上表達，感受了數形結合的重要數學思想.同時我也在啟發學生，函數圖像與x軸的交點和對應方程的解之間的統一性.一方面為零點概念理解埋下伏筆，另一方面為后面學習“函數與方程”做好準備.

2.為了能讓學生順利理解和接受函數零點存在的條件，我設計了下列問題：觀察下面函數y=f（x）的圖像.

①在區間[a，b]上 （有/無）零點；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在區間[b，c]上 （有/無）零點；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在區間[c，b]上 （有/無）零點；f（c）·f（d） 0（>或<）.

從而得到結論：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且滿足f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.

在理解這個零點判斷方法的時候，我還讓學生思考：圖像連續是什么意思？如果滿足條件時有零點，那么，能判斷零點的個數嗎？如果f（a）·f（b）>0，能判斷是否有零點嗎？若函數有零點，一定是f（a）·f（b）<0嗎？這么多抽象的、繁雜的問題怎么解決呢？如果只用語言解釋，學生肯定是越聽越糊涂的，我借助課本中的一個熟悉的函數圖像，非常直觀地解釋了上述問題.

三、在選題上做文章

首先是引入時的選題，充分體現了基礎性、低起點，讓所有學生能跟著動手，這樣學生能積極參與課堂學習，有利于接受和理解新知識.

其次在例題的選擇上，注重針對性、層次性，體現通解通法.

【例1】 證明二次函數y=2x2-3x-7有兩個不同的零點.

【例2】 求證：函數f（x）=x3+x2+1在區間（-2，1）上存在零點.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有幾個零點？

顯然例1很簡單，用初中知識就可以解決，但我讓學生考慮有幾種方法可以解決.學生一開始處理例2時感覺無從下手，因為三次方程不好解，但通過我的引導想到了函數零點的判斷方法，很快就知道怎么做了.接著，我又問：可以畫圖像發現嗎？根據函數零點的定義，求x3+x2+1=0的解，再將方程轉化為x3=-x2-1，這樣畫函數f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的圖像，發現交點的橫坐標就是原函數的零點.怎么判斷它在區間（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），這樣得到函數f（x）=x3+x1+1在區間（-2，1）上存在零點.至于例3，學生在例1、例2的基礎上很快得出解決問題的方法和結論.延伸思考：該零點的范圍是什么？能不能進一步縮小？

通過對這節課的反思再認識，我深刻體會到要提高教學效果，教師應該改變原來的教學方式，真正體現出學生的主體性，能讓最多的學生動起來，不僅僅是手動，還要嘴動，更重要的是腦動.只有真正在課堂上讓學生做主角，才能實現課堂真正的高效性，才能真正實現學生的能力提高.

（責任編輯 黃桂堅）

“函數的零點”是“函數與方程”一節的第一部分內容，它是學生在相對比較系統地學習了函數的概念、性質、圖像的基礎上，繼續學習的一個新內容，它承接了前面的函數知識，是學習后面“二分法”的基礎，也是函數與方程關系的重要體現.根據本節內容的特點和我們學生現有的認知水平，我在備課、上課等環節上做了一些文章，通過教學實踐，不論是教師的“教”還是學生的“學”，都有很大的收獲.

一、在情境引入上做文章

在備課時，我考慮到盡管學生在初中已經學了基本函數的圖像及其性質，但教學的起點仍不能太高，所以我在引入時先讓學生畫出下列函數的圖像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在學生順利完成了這幾個常見的基本函數圖像后，我又出示一組問題，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.對于第三個方程，學生感覺無從下手，但又發現這個問題和剛才要求畫的圖像有點關聯.學生經過一番思考后，很快發現它的結果是無解.我在此基礎上讓學生思考上述函數與對應方程之間的關系，從而引出“函數的零點”的概念，并很好地借助上面的兩組題目從兩個方面給出零點的解釋.

二、在設問上做文章

本節課幾個關鍵設問的地方分別是：

1.我在零點概念的引入過程中，完成了畫函數圖像、解方程之后，問學生：“這兩組問題之間有什么關聯？”學生清楚地認識到函數圖像是從形上表達，方程是從數上表達，感受了數形結合的重要數學思想.同時我也在啟發學生，函數圖像與x軸的交點和對應方程的解之間的統一性.一方面為零點概念理解埋下伏筆，另一方面為后面學習“函數與方程”做好準備.

2.為了能讓學生順利理解和接受函數零點存在的條件，我設計了下列問題：觀察下面函數y=f（x）的圖像.

①在區間[a，b]上 （有/無）零點；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在區間[b，c]上 （有/無）零點；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在區間[c，b]上 （有/無）零點；f（c）·f（d） 0（>或<）.

從而得到結論：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且滿足f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.

在理解這個零點判斷方法的時候，我還讓學生思考：圖像連續是什么意思？如果滿足條件時有零點，那么，能判斷零點的個數嗎？如果f（a）·f（b）>0，能判斷是否有零點嗎？若函數有零點，一定是f（a）·f（b）<0嗎？這么多抽象的、繁雜的問題怎么解決呢？如果只用語言解釋，學生肯定是越聽越糊涂的，我借助課本中的一個熟悉的函數圖像，非常直觀地解釋了上述問題.

三、在選題上做文章

首先是引入時的選題，充分體現了基礎性、低起點，讓所有學生能跟著動手，這樣學生能積極參與課堂學習，有利于接受和理解新知識.

其次在例題的選擇上，注重針對性、層次性，體現通解通法.

【例1】 證明二次函數y=2x2-3x-7有兩個不同的零點.

【例2】 求證：函數f（x）=x3+x2+1在區間（-2，1）上存在零點.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有幾個零點？

顯然例1很簡單，用初中知識就可以解決，但我讓學生考慮有幾種方法可以解決.學生一開始處理例2時感覺無從下手，因為三次方程不好解，但通過我的引導想到了函數零點的判斷方法，很快就知道怎么做了.接著，我又問：可以畫圖像發現嗎？根據函數零點的定義，求x3+x2+1=0的解，再將方程轉化為x3=-x2-1，這樣畫函數f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的圖像，發現交點的橫坐標就是原函數的零點.怎么判斷它在區間（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），這樣得到函數f（x）=x3+x1+1在區間（-2，1）上存在零點.至于例3，學生在例1、例2的基礎上很快得出解決問題的方法和結論.延伸思考：該零點的范圍是什么？能不能進一步縮小？

通過對這節課的反思再認識，我深刻體會到要提高教學效果，教師應該改變原來的教學方式，真正體現出學生的主體性，能讓最多的學生動起來，不僅僅是手動，還要嘴動，更重要的是腦動.只有真正在課堂上讓學生做主角，才能實現課堂真正的高效性，才能真正實現學生的能力提高.

（責任編輯 黃桂堅）

“函數的零點”是“函數與方程”一節的第一部分內容，它是學生在相對比較系統地學習了函數的概念、性質、圖像的基礎上，繼續學習的一個新內容，它承接了前面的函數知識，是學習后面“二分法”的基礎，也是函數與方程關系的重要體現.根據本節內容的特點和我們學生現有的認知水平，我在備課、上課等環節上做了一些文章，通過教學實踐，不論是教師的“教”還是學生的“學”，都有很大的收獲.

一、在情境引入上做文章

在備課時，我考慮到盡管學生在初中已經學了基本函數的圖像及其性質，但教學的起點仍不能太高，所以我在引入時先讓學生畫出下列函數的圖像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在學生順利完成了這幾個常見的基本函數圖像后，我又出示一組問題，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.對于第三個方程，學生感覺無從下手，但又發現這個問題和剛才要求畫的圖像有點關聯.學生經過一番思考后，很快發現它的結果是無解.我在此基礎上讓學生思考上述函數與對應方程之間的關系，從而引出“函數的零點”的概念，并很好地借助上面的兩組題目從兩個方面給出零點的解釋.

二、在設問上做文章

本節課幾個關鍵設問的地方分別是：

1.我在零點概念的引入過程中，完成了畫函數圖像、解方程之后，問學生：“這兩組問題之間有什么關聯？”學生清楚地認識到函數圖像是從形上表達，方程是從數上表達，感受了數形結合的重要數學思想.同時我也在啟發學生，函數圖像與x軸的交點和對應方程的解之間的統一性.一方面為零點概念理解埋下伏筆，另一方面為后面學習“函數與方程”做好準備.

2.為了能讓學生順利理解和接受函數零點存在的條件，我設計了下列問題：觀察下面函數y=f（x）的圖像.

①在區間[a，b]上 （有/無）零點；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在區間[b，c]上 （有/無）零點；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在區間[c，b]上 （有/無）零點；f（c）·f（d） 0（>或<）.

從而得到結論：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且滿足f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.

在理解這個零點判斷方法的時候，我還讓學生思考：圖像連續是什么意思？如果滿足條件時有零點，那么，能判斷零點的個數嗎？如果f（a）·f（b）>0，能判斷是否有零點嗎？若函數有零點，一定是f（a）·f（b）<0嗎？這么多抽象的、繁雜的問題怎么解決呢？如果只用語言解釋，學生肯定是越聽越糊涂的，我借助課本中的一個熟悉的函數圖像，非常直觀地解釋了上述問題.

三、在選題上做文章

首先是引入時的選題，充分體現了基礎性、低起點，讓所有學生能跟著動手，這樣學生能積極參與課堂學習，有利于接受和理解新知識.

其次在例題的選擇上，注重針對性、層次性，體現通解通法.

【例1】 證明二次函數y=2x2-3x-7有兩個不同的零點.

【例2】 求證：函數f（x）=x3+x2+1在區間（-2，1）上存在零點.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有幾個零點？

顯然例1很簡單，用初中知識就可以解決，但我讓學生考慮有幾種方法可以解決.學生一開始處理例2時感覺無從下手，因為三次方程不好解，但通過我的引導想到了函數零點的判斷方法，很快就知道怎么做了.接著，我又問：可以畫圖像發現嗎？根據函數零點的定義，求x3+x2+1=0的解，再將方程轉化為x3=-x2-1，這樣畫函數f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的圖像，發現交點的橫坐標就是原函數的零點.怎么判斷它在區間（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），這樣得到函數f（x）=x3+x1+1在區間（-2，1）上存在零點.至于例3，學生在例1、例2的基礎上很快得出解決問題的方法和結論.延伸思考：該零點的范圍是什么？能不能進一步縮小？

通過對這節課的反思再認識，我深刻體會到要提高教學效果，教師應該改變原來的教學方式，真正體現出學生的主體性，能讓最多的學生動起來，不僅僅是手動，還要嘴動，更重要的是腦動.只有真正在課堂上讓學生做主角，才能實現課堂真正的高效性，才能真正實現學生的能力提高.

（責任編輯 黃桂堅）