數學高考復習中恒成立問題及解題策略

陳小軍

【摘 要】新課標下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質和能力，在培養學生思維的靈活性和創造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學就顯得十分必要，恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關鍵詞】高中數學；高考復習；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學生的綜合素質的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數學語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數范圍的恒成立問題，常常把參數視為主元，把主元視為參數，把原題視為參數的函數，再從函數的角度來解決問題，利用一次函數的單調性進行轉化，達到反客為主的目的。

對于一次函數f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數化為一次函數：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當a∈[-1，1]時，函數f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數形結合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數學高考復習中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規律可循，只要我們善于總結，找出解決這類問題的規律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數學學習與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學數學教學》，2009.04

[3]梁家芬.含參數不等式恒成立解題策略.《數學學習與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數學的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節課的所思所想.《中學數學雜志》，2009.05

[5]高中數學不等式恒成立問題中的參數求解技巧

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學）

【摘 要】新課標下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質和能力，在培養學生思維的靈活性和創造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學就顯得十分必要，恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關鍵詞】高中數學；高考復習；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學生的綜合素質的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數學語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數范圍的恒成立問題，常常把參數視為主元，把主元視為參數，把原題視為參數的函數，再從函數的角度來解決問題，利用一次函數的單調性進行轉化，達到反客為主的目的。

對于一次函數f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數化為一次函數：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當a∈[-1，1]時，函數f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數形結合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數學高考復習中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規律可循，只要我們善于總結，找出解決這類問題的規律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數學學習與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學數學教學》，2009.04

[3]梁家芬.含參數不等式恒成立解題策略.《數學學習與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數學的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節課的所思所想.《中學數學雜志》，2009.05

[5]高中數學不等式恒成立問題中的參數求解技巧

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學）

【摘 要】新課標下的高考對知識的考查有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的新穎試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，此類型問題由于題型多樣，有利于從多個角度考查考生的素質和能力，在培養學生思維的靈活性和創造性等方面也起到了積極的作用，備受命題專家青睞，所以加強對這類題型的探索，解題策略和教學就顯得十分必要，恒成立數學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。

【關鍵詞】高中數學；高考復習；恒成立問題；解題策略

新課程改革后的高考命題越來越注重對學生的綜合素質的考查，命題思路也有了根本性的變化，從知識立意到能力立意，出現了眾多注重能力考查的試題，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，解決恒成立題型能啟發人們高瞻遠矚地看待問題，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因為恒成立問題所涉及的知識面廣，綜合性強，數學語言抽象，如何從題目提取可用的知識模塊往往捉摸不定，難以尋覓，下面通過實例，從不同角度用常規方法歸納，供大家參考。

類型一：變更主元，反客為主

對于給出了參數范圍的恒成立問題，常常把參數視為主元，把主元視為參數，把原題視為參數的函數，再從函數的角度來解決問題，利用一次函數的單調性進行轉化，達到反客為主的目的。

對于一次函數f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：

f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0

例1 對于任意a∈[-1，1]，函數f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解題分析：我們可以用改變主元的辦法，將a視為主變元，即將原二次函數化為一次函數：

f（x）=（x-2）a+（x2-4x+4）

記：g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），

當a∈[-1，1]時，函數f（x）的值恒大于零，顯然x≠2，

故有g（-1）=2-x+x2-4x+4>0.g（1）=x-2+x2-4x+4>0.

解之得：x<1或x>3。

類型二：判別式法

用一元二次方程根的判別式設f（x）=ax2+bx+c（x≠0），

⑴f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0；

⑵f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0；

①若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在R上恒成立，則有a>0△<0或a<0△<0；

②若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）>0（或<0）在指定區間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。

例2若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解題分析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否為零。

（1）當m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0△=（m-1）2-8（m-1）<0，所以，m∈[1，9）。

類型三：數形結合法解決恒成立

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

f（x）>g（x）對一切x∈1恒成立

？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）

例3當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

解題分析：設C1：f（x）=（x-1）2，C2：g（x）=logax，則C1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），f（x）1，并且必須也只需g（2）>f（2）

故loga2>1，a>1，∴1

上述這些例子剖析了近幾年數學高考復習中恒成立問題的題型及解題策略，類型多，方法多，恒成立問題是新高考中的一個熱點問題，解決此類問題的方法多種多樣，因此要具體問題具體分析，恒成立問題的求解雖然有一定難度，但總有規律可循，只要我們善于總結，找出解決這類問題的規律，一定能取得成功。

【參考文獻】

[1]龐興聚.含參數的不等式“恒成立”問題破解技巧.《數學學習與研究·高中版》，2006.04

[2]樓方紅，李衛江.2009年高考恒成立問題的分類解析 《中學數學教學》，2009.04

[3]梁家芬.含參數不等式恒成立解題策略.《數學學習與研究·高中版》，2006.09

[4]高健.挖掘數學的本源.提高思維的有效性——聽“不等式恒成立”一節課的所思所想.《中學數學雜志》，2009.05

[5]高中數學不等式恒成立問題中的參數求解技巧

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學）