變易理論視域下的“分離—變異—對比”教學模式探究

楊靈君

一、問題緣起

人教版四年級下“三角形的認識”是一節典型的起始課，經常被選為研究課。在一次教研中，一位教師先讓學生自己畫三角形，從交流畫法中認識三角形概念；再通過自學交流，明確三角形各部分名稱，初步知道三角形高的表述；接著重點引導學生探究怎樣畫三角形的高，讓學生畫出幾個三角形指定邊上的高。然后通過動手圍四邊形和三角形，感受三角形的穩定性；最后通過動態變化移動三角形的一個頂點，感受隨著三角形的變化它的高也會隨之變化。這樣的教學流程我們都覺得很流暢，沒有問題，何況學生的課堂表現也非常活躍，表面看教學效果不錯。而課后，筆者隨機采訪了幾位學生：說說什么樣的圖形是三角形？結果沒有幾位學生能用準確的數學語言表達。三角形的高與平行四邊形的高一樣嗎？它們之間有聯系嗎？你知道任何一個三角形都有三條高嗎？學生的回答模棱兩可。筆者翻看了學生練習中一道畫出鈍角三角形鈍角對邊上的高，有35%學生畫錯（典型錯例如圖1）。

隨后，筆者對執教教師作了采訪：1.你課前對學生作過起點調查嗎？執教教師：三角形，其實學生都知道，老師不用教也可以；2.你認為這節課的難點是什么？執教教師：當然是畫高；3.課堂上你展示了銳角三角形的三條高，為什么不讓學生同樣找出其他三角形的三條高？或者再深入？執教教師：這節課知識點太多，難度又大，能上完這些內容算不錯了！

確實，課堂上如何利用好學生的學習起點，如何把握好學習重點與難點，如何處理和控制對知識與技能作進一步深化的時間，一直都是困擾著許多教師的現實問題。對此瑞典教育家馬騰創立的“變易理論”能給我們帶來很好的思考。變易理論認為：一個人對某個事物的理解，取決于他所能關注和識別到的該事物的特征。為了注意這個事物與其他事物在某個屬性上的不同，這個屬性就必須在某個維度上發生變化。在所有其他屬性都保持不變的情況下，這個差異及特征才可以被識別出來。所謂“變易”，實際上就是一種“幫助學生辨識關鍵特征”的方法。課堂上的學習是不會自然發生的，教師必須確認事物的關鍵屬性，并幫助學生有意識地理解事物，運用變與不變的范式促進學生的學習。馬騰認為，在教學過程中，教師要先了解學生的知識起點，找到新知識的本質屬性或新的生長點，然后改變需要學生掌握的內容屬性（在保證其他屬性不變的前提下），再讓學生通過自己的思考與審辨，最后內化為自身的知識。這一理論研究的視角不僅關注于教師的教，更關注于學生的學，這何嘗不是一種真實、自然、以人為本的課堂教學。

因此，筆者就以“三角形的認識”一課的教學為例，采用變易理論指導下的“分離—變異—對比”的模式來構建教學，探究其意義和價值。

二、實踐探索

（一）開展前測調查，分析學情了解起點

為了準確找到學生學習的起點，筆者對本校四年級一班45名學生做了調查。具體分析如下：

1.學生已具有三角形概念，但苦于不會表達。

從調查情況來看，所有的學生都會準確畫出三角形，其中有42.2%的學生會畫出三種不同類型的三角形，44.4%的學生能畫出兩種類型的三角形，13.4%的學生只能畫出一種三角形。但是對三角形概念的描述，完全準確的只有1人。42.2%的學生認為由三條邊組成的圖形就是三角形；26.7%的學生認為有三個角、三條邊的圖形是三角形；17.8%的學生認為有三個角的圖形是三角形；11.1%學生答非所問。可見，學生對三角形的概念是理解的，不過是“只可意會，不能言傳”。因此，學會用準確的數學語言來表達三角形是本課教學的關鍵。

2.理解三角形高的條件已充足，但缺少正遷移。

學生畫高能力調查情況如下：

3.對三角形穩定性理解有遷移，但缺本質理解。

由于學生已經知道平行四邊形易變形的特性，對三角形的穩定性有所感悟，但理解不深入。從調查看出，能準確說出穩定性的學生占8.9%；認為是不容易變形的占66.7%；認為牢固性的占22.2%；還有2.2%答非所問。可見，學生對三角形特性的理解，大多還只是停留在不易變形和牢固性上，雖然，不易變形在某種意義上也可理解為穩定性，但從嚴格上來說學生還是缺乏對三角形穩定性本質上的理解。

（二）深入課堂實踐，嘗試新法探尋效度

1.運用“分離—變異—對比”教學概念和特性。

（1）在平面圖形之間的聯系變化中分離出三角形。

師：同學們，我們已經學習了哪些平面圖形？這些圖形之間有沒有聯系呢？

學生思考片刻后，教師用課件展示將平行四邊形的角慢慢拉成直角變成長方形，再將長方形的長邊慢慢縮短變成正方形。學生靜觀其變，教師繼續將平行四邊形和長方形上邊的一條邊向左縮短，縮成直角梯形和一般梯形；再繼續將此邊長度縮成0時，就變成直角三角形和銳角三角形。然后又將平行四邊形和長方形上邊的一條邊向右縮短，同樣使它變成直角梯形和一般梯形，甚至變到直角三角形和鈍角三角形。最后鎖定這些三角形，揭示課題。

（2）在材料變異中辨析理解概念，認識各部分名稱。

什么是三角形？教師出示圖8讓學生辨析、理解三角形的形狀，從而完善三角形的概念。教師順勢讓學生畫三角形，畫好后互相檢查審辨，再認識三角形的各部分名稱。

接著教師形象地指出：三角形的頂點和邊可有意思了，是遙遙相望，互相對應的呢，你們發現了嗎？課件出示如圖9。學生靜靜觀察后，互相說說每一頂點的對邊（為學習“高”作鋪墊準備），而后教師介紹三角形的表示方法。

（3）在操作對比中感受三角形的穩定性特征。

教師先從生活中的應用，抽象分離出三角形，再引發思考：為什么都用到三角形？隨后，讓學生動手操作：一半學生用不同長短的三根小棒搭三角形，另一半學生用兩長兩短的4根小棒搭四邊形。搭好后，組內比一比搭出來的形狀是否相同。通過操作實驗，使學生發現用同樣的4根小棒搭出來的形狀有很多種（如圖10），而且每一個四邊形又可變出很多不同形狀的四邊形（如圖11）。得出四邊形四條邊的長度雖確定，但形狀有無數種；三角形的三條邊長度確定，它的形狀、大小只有一種，這就是三角形穩定性的深層含義。endprint

2. 運用“分離—變異—對比”教學三角形的高。

（1）在新舊知識的聯系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個平行四邊形和一個長方形（如圖12），然后出示這三個圖形的高，激起學生對舊知識的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動一個頂點變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯系？使學生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學生用三角板逐一驗證圖13中每個三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學生畫出一個三角形的高，教師引導學生在觀察交流中學會畫高的要領與步驟。接著教師旋轉這個三角形，使學生在這樣的變化、審辨中認識三角形高的本質。引出三角形應該有三條高。然后讓學生繼續畫出另外兩條高，再組織學生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區分（如圖14）。

（3）在聯系對比中凸顯畫高本質。

教師引導：觀察這個三角形（圖14）的三條底和高，你發現了什么？畫三角形的高其實與我們以前學過的什么知識是一樣的？教師相機用課件展示，將三角形高的畫法與過點到線上的距離畫法進行有效溝通。接著，教師適機引導學生發現黑板上第二個三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個三角形（鈍角三角形）引導學生思考：這個三角形有兩條高與前兩個三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學生去畫，只作認識。

3. 運用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關系。

課件依次呈現有三條高的三種三角形。先觀察第一個三角形的三條高發現交于一點。再引導第二個三角形三條高會怎樣呢？使學生說出交在直角的項點上。那第三個三角形的三條高呢？教師再適時利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學生不僅從中感受到數學的內涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點”這一額外的數學知識。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動頂點，它的高會怎么變？教師運用課件依次不斷變化地變化頂點和高的位置成圖17。引導學生發現：底不變，頂點在平行線上移動，高位置變了，但是長度不變。教師繼續變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點在上下左右變化，高又會怎樣？學生先想象，然后課件展示圖18。讓學生感受到底不變，高的位置和長短會隨著頂點位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個三角形的高，想象一下，這個三角形可能會是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環節由于學生還沒有學習三角形的分類，所以不要求學生進行表達，只是讓學生通過課件展示意會即可。）

（3）在總結梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節課的學習你有什么收獲？

學生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識點外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點；三角形的高會隨著頂點的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關系的……

師：你們說得對，三角形確實與其他圖形有著密切的關系。你看，要是知道了這個三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了！（課件出示圖19）

三、分析結果

為了有效分析兩種不同教學的結果狀況，筆者對兩次教學進行了后測對比研究。

（一）數據整理

1.學生對三角形概念、高和特性的理解應用。

2.準確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學結果沒有明顯差異，但對于準確作出鈍角三角形的高，變易理論指導下的教學效果比原教法有顯著提高。

3.準確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學后，學生能準確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導下的教學更具潛力和發展的可持續性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學實踐證明：變易理論指導下的“分離—變異—對比”教學模式，便于教師找到新舊知識間的連接點，將數學本質特征向學生的思維深處推進，有利于學生理解接受和建構知識。

1. 運用分離手法，準確地把握了知識的關鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學習者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現象的某一個特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識屬性中找到關鍵的屬性，以便于學生更好地建構。根據認知結構的建構觀點：“學習一個數學概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”換而言之，就是建立了恰當的新舊知識間的聯系，就可以使概念的心理表現建立得比較準確，使之與其他概念表現聯系更合理，也更豐富和緊密。

2.運用對比手法，有效地促進了學生的自主感悟。

對比指的是通過設置不同的特征值來關注某一個事物、概念或現象在某個維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現象放在一起進行比較的思維過程。對比可以幫助學生把握易錯、易混概念的本質，強化基本概念；可以幫助學生克服消極思維定勢，排除負遷移；有利于實現知識的正遷移，幫助學生獲得新知；通過多種方式的對比練習還有助于培養學生的思維能力。在新教法的教學實踐中教師就多次運用了對比這種變易手法，讓學生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運用聯系手法，完美地形成了知識的整體架構。

小學數學概念教學的特點具有發展性。比如“高的概念”要經歷這樣一個過程：點到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發展性。而小學生構建數學概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質屬性、符號表征、概念內化這五個階段。概念同化一般要經歷喚起認知結構中的相關概念、進一步抽象形成新概念、分離新概念的關鍵屬性、運用并強化概念理解四個階段。分析本課的三角形和高的概念因為已有了平行四邊形、梯形的高的概念做基礎，應該屬于概念同化。新教法的教學中教師就非常合理地運用了聯系的手法，溝通新舊知識間整體連接，實現了有效同化。

4. 運用動態教學，靈動地拓展了學生的知識空間。

動態教學就是用變化的觀點，創設動態情境，想象操作，借助媒體技術，讓靜止的圖形動起來，在這種運動變化中，揭示圖形的本質特征和圖形間的關系。它可以幫助學生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關系，有利于學生構建良好的圖形認知結構，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實驗小學 317000）endprint

2. 運用“分離—變異—對比”教學三角形的高。

（1）在新舊知識的聯系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個平行四邊形和一個長方形（如圖12），然后出示這三個圖形的高，激起學生對舊知識的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動一個頂點變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯系？使學生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學生用三角板逐一驗證圖13中每個三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學生畫出一個三角形的高，教師引導學生在觀察交流中學會畫高的要領與步驟。接著教師旋轉這個三角形，使學生在這樣的變化、審辨中認識三角形高的本質。引出三角形應該有三條高。然后讓學生繼續畫出另外兩條高，再組織學生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區分（如圖14）。

（3）在聯系對比中凸顯畫高本質。

教師引導：觀察這個三角形（圖14）的三條底和高，你發現了什么？畫三角形的高其實與我們以前學過的什么知識是一樣的？教師相機用課件展示，將三角形高的畫法與過點到線上的距離畫法進行有效溝通。接著，教師適機引導學生發現黑板上第二個三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個三角形（鈍角三角形）引導學生思考：這個三角形有兩條高與前兩個三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學生去畫，只作認識。

3. 運用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關系。

課件依次呈現有三條高的三種三角形。先觀察第一個三角形的三條高發現交于一點。再引導第二個三角形三條高會怎樣呢？使學生說出交在直角的項點上。那第三個三角形的三條高呢？教師再適時利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學生不僅從中感受到數學的內涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點”這一額外的數學知識。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動頂點，它的高會怎么變？教師運用課件依次不斷變化地變化頂點和高的位置成圖17。引導學生發現：底不變，頂點在平行線上移動，高位置變了，但是長度不變。教師繼續變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點在上下左右變化，高又會怎樣？學生先想象，然后課件展示圖18。讓學生感受到底不變，高的位置和長短會隨著頂點位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個三角形的高，想象一下，這個三角形可能會是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環節由于學生還沒有學習三角形的分類，所以不要求學生進行表達，只是讓學生通過課件展示意會即可。）

（3）在總結梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節課的學習你有什么收獲？

學生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識點外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點；三角形的高會隨著頂點的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關系的……

師：你們說得對，三角形確實與其他圖形有著密切的關系。你看，要是知道了這個三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了！（課件出示圖19）

三、分析結果

為了有效分析兩種不同教學的結果狀況，筆者對兩次教學進行了后測對比研究。

（一）數據整理

1.學生對三角形概念、高和特性的理解應用。

2.準確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學結果沒有明顯差異，但對于準確作出鈍角三角形的高，變易理論指導下的教學效果比原教法有顯著提高。

3.準確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學后，學生能準確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導下的教學更具潛力和發展的可持續性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學實踐證明：變易理論指導下的“分離—變異—對比”教學模式，便于教師找到新舊知識間的連接點，將數學本質特征向學生的思維深處推進，有利于學生理解接受和建構知識。

1. 運用分離手法，準確地把握了知識的關鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學習者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現象的某一個特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識屬性中找到關鍵的屬性，以便于學生更好地建構。根據認知結構的建構觀點：“學習一個數學概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”換而言之，就是建立了恰當的新舊知識間的聯系，就可以使概念的心理表現建立得比較準確，使之與其他概念表現聯系更合理，也更豐富和緊密。

2.運用對比手法，有效地促進了學生的自主感悟。

對比指的是通過設置不同的特征值來關注某一個事物、概念或現象在某個維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現象放在一起進行比較的思維過程。對比可以幫助學生把握易錯、易混概念的本質，強化基本概念；可以幫助學生克服消極思維定勢，排除負遷移；有利于實現知識的正遷移，幫助學生獲得新知；通過多種方式的對比練習還有助于培養學生的思維能力。在新教法的教學實踐中教師就多次運用了對比這種變易手法，讓學生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運用聯系手法，完美地形成了知識的整體架構。

小學數學概念教學的特點具有發展性。比如“高的概念”要經歷這樣一個過程：點到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發展性。而小學生構建數學概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質屬性、符號表征、概念內化這五個階段。概念同化一般要經歷喚起認知結構中的相關概念、進一步抽象形成新概念、分離新概念的關鍵屬性、運用并強化概念理解四個階段。分析本課的三角形和高的概念因為已有了平行四邊形、梯形的高的概念做基礎，應該屬于概念同化。新教法的教學中教師就非常合理地運用了聯系的手法，溝通新舊知識間整體連接，實現了有效同化。

4. 運用動態教學，靈動地拓展了學生的知識空間。

動態教學就是用變化的觀點，創設動態情境，想象操作，借助媒體技術，讓靜止的圖形動起來，在這種運動變化中，揭示圖形的本質特征和圖形間的關系。它可以幫助學生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關系，有利于學生構建良好的圖形認知結構，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實驗小學 317000）endprint

2. 運用“分離—變異—對比”教學三角形的高。

（1）在新舊知識的聯系中分離出三角形的高。

教師先出示兩個平行四邊形和一個長方形（如圖12），然后出示這三個圖形的高，激起學生對舊知識的回憶。接著利用課件將這些平行四邊形移動一個頂點變成不同類型的三角形（如圖13）。教師提出：你們覺得三角形的高與平行四邊形的高有什么聯系？使學生在這樣的“變異、對比、審辨”中逐步明確了三角形高的定義，然后讓學生用三角板逐一驗證圖13中每個三角形的高。

（2）在變異、交流中完善高的畫法。

學生畫出一個三角形的高，教師引導學生在觀察交流中學會畫高的要領與步驟。接著教師旋轉這個三角形，使學生在這樣的變化、審辨中認識三角形高的本質。引出三角形應該有三條高。然后讓學生繼續畫出另外兩條高，再組織學生板演、反饋、交流，教師用不同顏色的筆做出區分（如圖14）。

（3）在聯系對比中凸顯畫高本質。

教師引導：觀察這個三角形（圖14）的三條底和高，你發現了什么？畫三角形的高其實與我們以前學過的什么知識是一樣的？教師相機用課件展示，將三角形高的畫法與過點到線上的距離畫法進行有效溝通。接著，教師適機引導學生發現黑板上第二個三角形（直角三角形）兩條直角邊互為底和高，并動手畫出直角三角形斜邊上的高。最后，教師指著第三個三角形（鈍角三角形）引導學生思考：這個三角形有兩條高與前兩個三角形的高有什么不同？并利用課件展示出兩條高，不要求學生去畫，只作認識。

3. 運用“分離—變異—對比”深化高的理解。

（1）在觀察中感知三角形三條高的關系。

課件依次呈現有三條高的三種三角形。先觀察第一個三角形的三條高發現交于一點。再引導第二個三角形三條高會怎樣呢？使學生說出交在直角的項點上。那第三個三角形的三條高呢？教師再適時利用課件演示這三條高延長之后也能交于一點（如圖15）。

通過這樣的觀察思考，學生不僅從中感受到數學的內涵魅力，而且在觀察中也分離出了“三角形三條高都相交于一點”這一額外的數學知識。

（2） 在變與不變中感受三角形高的變化。

教師出示圖16：這是三角形的一條高，如果在與底平行的線上移動頂點，它的高會怎么變？教師運用課件依次不斷變化地變化頂點和高的位置成圖17。引導學生發現：底不變，頂點在平行線上移動，高位置變了，但是長度不變。教師繼續變化，同樣是原來的三角形，底不變，頂點在上下左右變化，高又會怎樣？學生先想象，然后課件展示圖18。讓學生感受到底不變，高的位置和長短會隨著頂點位置變化而變化。

師：如果從圖中取出一條垂線段，要是這條垂線段是一個三角形的高，想象一下，這個三角形可能會是怎么樣？

通過逆向思考，想象得出可能會是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（此環節由于學生還沒有學習三角形的分類，所以不要求學生進行表達，只是讓學生通過課件展示意會即可。）

（3）在總結梳理中將三角形推回圖形大家族。

師：通過這節課的學習你有什么收獲？

學生的回答很豐富，除了本課需要掌握的知識點外，還深刻地感受到了三角形有三條高且交于一點；三角形的高會隨著頂點的變化而變化；知道三角形與其他圖形是有關系的……

師：你們說得對，三角形確實與其他圖形有著密切的關系。你看，要是知道了這個三角形的高，我就可以知道這些圖形的高了！（課件出示圖19）

三、分析結果

為了有效分析兩種不同教學的結果狀況，筆者對兩次教學進行了后測對比研究。

（一）數據整理

1.學生對三角形概念、高和特性的理解應用。

2.準確做出三角形指定底邊上高的能力。

從表中可以看出，對銳角三角形和直角三角形指定邊上作高，兩種教學結果沒有明顯差異，但對于準確作出鈍角三角形的高，變易理論指導下的教學效果比原教法有顯著提高。

3.準確畫出不同三角形三條高的能力（三角形外高教材中并不做要求）。

從表中看出，兩次教學后，學生能準確畫出不同三角形三條高的能力有顯著提高。在變易理論指導下的教學更具潛力和發展的可持續性。

（二）反思剖析

兩次不同的教學實踐證明：變易理論指導下的“分離—變異—對比”教學模式，便于教師找到新舊知識間的連接點，將數學本質特征向學生的思維深處推進，有利于學生理解接受和建構知識。

1. 運用分離手法，準確地把握了知識的關鍵屬性。

所謂“分離”就是教育者和學習者在諸多的變化和干擾的因素中，將注意集中于事物、概念和現象的某一個特定維度上。對于教師來說，就是在諸多的知識屬性中找到關鍵的屬性，以便于學生更好地建構。根據認知結構的建構觀點：“學習一個數學概念、原理、法則，如果能在心理上組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”換而言之，就是建立了恰當的新舊知識間的聯系，就可以使概念的心理表現建立得比較準確，使之與其他概念表現聯系更合理，也更豐富和緊密。

2.運用對比手法，有效地促進了學生的自主感悟。

對比指的是通過設置不同的特征值來關注某一個事物、概念或現象在某個維度上不同值或特征的變化。也就是把一些事物和現象放在一起進行比較的思維過程。對比可以幫助學生把握易錯、易混概念的本質，強化基本概念；可以幫助學生克服消極思維定勢，排除負遷移；有利于實現知識的正遷移，幫助學生獲得新知；通過多種方式的對比練習還有助于培養學生的思維能力。在新教法的教學實踐中教師就多次運用了對比這種變易手法，讓學生在觀察、辨析中很好地得到自主感悟。

3.運用聯系手法，完美地形成了知識的整體架構。

小學數學概念教學的特點具有發展性。比如“高的概念”要經歷這樣一個過程：點到直線的距離→平行四邊形的高→梯形的高→三角形的高→長方體的高→圓柱的高→圓錐的高→……這就是概念的發展性。而小學生構建數學概念的過程有兩種不同的形式，分別是概念同化和概念形成，概念形成一般要經歷感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質屬性、符號表征、概念內化這五個階段。概念同化一般要經歷喚起認知結構中的相關概念、進一步抽象形成新概念、分離新概念的關鍵屬性、運用并強化概念理解四個階段。分析本課的三角形和高的概念因為已有了平行四邊形、梯形的高的概念做基礎，應該屬于概念同化。新教法的教學中教師就非常合理地運用了聯系的手法，溝通新舊知識間整體連接，實現了有效同化。

4. 運用動態教學，靈動地拓展了學生的知識空間。

動態教學就是用變化的觀點，創設動態情境，想象操作，借助媒體技術，讓靜止的圖形動起來，在這種運動變化中，揭示圖形的本質特征和圖形間的關系。它可以幫助學生更好地理解幾何概念、圖形屬性，更好地理解概念與概念間的關系，有利于學生構建良好的圖形認知結構，拓展空間觀念。

（浙江省臨海市回浦實驗小學 317000）endprint