經(jīng)歷表格形成過程 提高學生解決問題能力

陳晶

表格問題是對現(xiàn)實問題情境的高度抽象概括，表格問題的學習有利于學生從不同的問題中抽象出相同的數(shù)量關系，從而發(fā)現(xiàn)不同數(shù)量關系之間的聯(lián)系。在學生學習解決問題的初始階段安排表格問題的學習，一方面為學生學會用列表的方法整理題目里的已知信息和問題，并為尋找到解決問題的思路積累經(jīng)驗；另一方面為后續(xù)學會用列表法描述函數(shù)關系打下基礎。但是，在表格問題學習的初始階段，教學狀況怎樣呢？筆者針對蘇教版義務教育教科書一年級下冊第7頁第4題（如圖1）的教學與部分教師進行了交流，以了解學生在學習這一內容時所遇到的問題，以下是在交流過程中所出現(xiàn)的比較有代表性的兩種情況。

師1：關于這道題的學習，學生對表格里的已知信息和要解決的問題搞不太清楚，不能夠尋找到正確的解決問題的方法。

師2：在引導學生學習表格問題時，我都是讓學生找一找已知什么，要求什么，然后再想一想，這個問題怎么解決，規(guī)定了這樣的解決問題程序后，學生的錯誤率比較低。

面對這樣的情況，分析其成因，筆者認為這與學生在之前表格問題的學習中沒有經(jīng)歷表格形成的過程、理解表格問題的結構有很大的關系。本題是蘇教版一年級教材中第三次出現(xiàn)的表格相關問題，可以說學生對表格并不陌生，但是卻也沒有真正理解表格內各個信息的內涵與聯(lián)系。在教學過程中，許多教師僅僅讓學生按照規(guī)定的程序先找出信息和問題，然后再從已有的經(jīng)驗中尋找合適的數(shù)量關系，學生只是經(jīng)歷了逐個解決表格內問題的過程，卻并沒有因此獲得靈活轉換表格中的已知信息和所求問題，從而生成新問題的經(jīng)驗，因此出現(xiàn)上文中的情況也屬正常。那么如何才能在認識表格的初步階段進行有效的課堂教學呢？為此，筆者對蘇教版教材一年級階段的三個表格問題：一年級上冊第94頁第4題（如圖2）、第103頁第9題（如圖4）以及一年級下冊第7頁第4題（如圖1），進行了教學實踐與嘗試。

一、經(jīng)歷問題壓縮過程，積累整合信息經(jīng)驗

學生在學習解決問題的初始階段時，都是先接觸圖文結合的實際問題，然后再學習表格問題。在學習表格問題時，如果教師僅僅只是出示表格問題，讓學生說一說題目里的已知信息和要解決的問題，然后求解。這樣的學習方式，學生容易將圖文結合的問題、表格問題以及后續(xù)要學習的純文字描述的問題進行人為的割裂，不能夠很好地體會到三者之間的關系，在解決問題過程中，也不能夠很好地將三者進行轉換。在表格問題學習的初始階段，應該基于原有圖文結合的實際問題，讓學生認識到表格問題是對圖文結合的實際問題進行壓縮形成的。在壓縮的過程中，讓學生體會表格問題其實是一類高度相關問題的抽象與概括，從而在后續(xù)解決問題過程中，也能夠主動提取原有解決問題的經(jīng)驗來解決表格問題。在學生第一次學習表格問題時（圖2），筆者安排了如下的學習過程。

首先讓學生根據(jù)每道題中的前面兩個信息提出問題，然后再根據(jù)學生提出的問題整理成下面的問題。

1.大班有8架，小班有5架，兩個班共有多少架？

2.大班有 7臺，小班有7臺 ，兩個班一共有多少臺？

3.大班有7只，小班有4只，兩個班一共有多少只？

師：讀完這三道題，你有什么想說的？

生：第一題畫了三次飛機，第二題畫了三次拖拉機，第三題畫了三次輪船。

師：真會思考，發(fā)現(xiàn)了問題里相同的地方，這些問題能不能說得更加簡單一些呢？

生：可以直接說大班8架，小班5架，一共多少架？

（教師板書：大班8架 小班5架 一共多少架？）

生：這里的“一共多少架”可以學著前面的樣子，變成“一共（ ）架”。

師：真厲害，把前面的經(jīng)驗用到這里來了。想一想，僅僅這樣整理，其他人能知道這里的8架和5架是什么嗎？

生：肯定不知道，我們可以在最前面畫一架飛機。

師：對，這樣寫出來就變得更清楚更簡單了。

師：那第2題和第3題你們也能像這樣整理嗎？

（學生交流，老師在黑板上完成板書）

大班8架 小班5架 一共（ ）架

大班7臺 小班7臺 一共（ ）臺

大班7只 小班4只 一共（ ）只

師：真會動腦，通過把問題里相同的信息放到最前面，這樣讓問題變得更加簡單了。再看看這些問題，你們還能夠讓問題變得更加簡單嗎？

生：每一豎排都有“大班”“小班”和“一共”。 剛才我們把相同的信息放到每一排最前面了，現(xiàn)在我們也可以把相同的信息放到每一豎排的最上面。

師：太棒了，數(shù)學家們就是這樣想的！根據(jù)你的思路，老師把問題整理了一下，然后再畫上線，最后就變成了這樣一個表格（圖3）。

師：這張表格，我們是把三個問題橫著排成一排的，除了橫著排，還可以怎樣排？

生：還可以豎著排，也就是表格轉一下。

（教師演示豎排過程，回歸到圖2的表格）

師：表格雖然轉了一下，但是什么沒有變化？

生：雖然轉了一下，但是每一道題里的已知信息和問題都沒有變化。

通過呈現(xiàn)三道完整的實際問題，學生發(fā)現(xiàn)了每個問題里相同的地方。通過“能不能變得更加簡單”的追問，學生首先對同一問題里相同的信息進行了合并，對整個問題進行了初步壓縮。在整理完三個問題后，通過再次追問“能不能變得更加簡單”，學生又很快發(fā)現(xiàn)了不同問題之間的相同之處，對問題再次進行整合，最后形成了課本上的表格問題。通過對具有相同信息問題的整合，學生經(jīng)歷了表格的形成過程，一方面讓學生能夠結合表格的形成過程去讀懂表格里的問題，并且自主調動頭腦里原有的數(shù)量關系去解決問題；另一方面讓學生積累了對一個問題的壓縮以及對幾個問題整合的經(jīng)驗。

二、經(jīng)歷表格展開與壓縮過程，建構基本數(shù)量關系

學生經(jīng)歷了問題壓縮，體會到表格問題是對幾個問題的高度整合之后，還要讓學生對表格進行展開和壓縮，讓學生在展開和壓縮表格的過程中認識到同一表格里面如果問題處于相同的位置，那么解決問題的思路相同，并且讓學生學會基于解決問題的思路，提煉出基本數(shù)量關系。在學生第二次學習安排表格問題時（如圖4），筆者安排了如下的學習過程。endprint

首先讓學生從表格里讀出三個問題，然后解決這樣的問題，并交流。

師：如果把表格向后再拉長，添加一些格子，你能夠向里面填一些問題嗎？

生：原有排球8個，借出了7個，剩多少個？

生：原有作業(yè)本14本，借出了4本，還剩多少本？

……

師：繼續(xù)向后說，能夠說得完嗎？

生：說不完，可以說許許多多的問題。

師：這許許多多的問題有什么相同的地方？

生：都是告訴我們原有的數(shù)量和借出的數(shù)量，求還剩多少的問題，只不過上面的物品不同，有的是毽子，有的是足球，有的是跳繩……

生：后面許許多多的問題其實都和第一個毽子的問題是相同的，都是用原有的減去借出的等于還剩的。

師：真是一個會思考的孩子，從不同的問題中發(fā)現(xiàn)了相同的解決問題的過程。其實，向后可以把表格拉得很長很長（課件出示圖5），補充許許多多的問題。這些問題，我們只要找到了第一題問題的思路（課件出示圖6），那么后面的所有問題都解決了。

上述學習過程中，通過讓學生基于原有的表格問題生成更多的與之相關的問題，學生在展開表格的過程中，豐富了對“原來”“借出”與“還剩”這三者之間數(shù)量關系的認識。再通過對表格的壓縮，讓學生理解雖然問題情境不同，但是解決問題的數(shù)量關系相同，并基于解決問題的過程提煉出基本的數(shù)量關系。學生經(jīng)歷了從豐富的情境中抽象出基本數(shù)量關系的過程，獲得了去除問題情境把握問題中數(shù)量關系的經(jīng)驗，培養(yǎng)了抽象思維能力。

三、經(jīng)歷表格變化過程，獲得問題轉換經(jīng)驗

表格問題的學習，不僅有利于學生從表格中抽象出基本的數(shù)量關系，更有利于學生從中把握同一類型數(shù)量關系，不同表達形式之間的聯(lián)系。在學習表格問題的初始階段，不僅要讓學生能夠解決表格問題，還要學會把問題里的已知信息和要解決的問題進行靈活轉換生成新的問題。在學生第三次學習表格問題時（圖1），筆者安排了如下的學習過程。

首先讓學生觀察第二列表格，從圖中讀出已知信息和問題，想一想如何解決這樣的問題，然后再組織交流。

師：想一想，表格里的括號除了可以在“一共”的位置，還可以在什么位置？這個時候就需要知道哪些信息？你能自己編出問題嗎？

生：括號在男生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和女生的人數(shù)。可以編一共有13人，女生有8人，男生有多少人？

生：括號在女生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和男生的人數(shù)。可以編出一共有16人，男生有7人，女生有多少人？

……

（根據(jù)學生的問題生成相應的表格）

師：剛才我們把已知的信息轉換成了問題，把要解決的問題轉換成了已經(jīng)知道的信息，這樣就出現(xiàn)了一個新的問題。現(xiàn)在你們能夠解決表格中的其他問題了嗎？

（學生獨立解決，然后交流思路）

生：第一個問題是用男生的人數(shù)加上女生的人數(shù)等于一共的人數(shù)，第二個問題是用一共的人數(shù)減去男生的人數(shù)等于女生的人數(shù)，第三個問題是用一共的人數(shù)減去女生的人數(shù)等于男生的人數(shù)。

師：這里都是關于男生數(shù)、女生數(shù)和總人數(shù)的問題，不過，由于我們交換了原來問題里面的已知信息和要解決的問題，所以新問題的解決思路和原來會有一定的差別。

通過讓學生變換問題在表格里的位置，把第一個問題里的已知信息和要解決的問題進行轉換生成新的問題。由于學生經(jīng)歷了在同一表格中生成不同問題的過程，在解決問題的過程中不再用一成不變的思路去思考，而是主動從原有經(jīng)驗中尋找與問題相匹配的數(shù)量關系。生成新問題的過程，也讓學生獲得了從轉換題目里的已知信息和要解決的問題來提出數(shù)學問題的經(jīng)驗，加深對不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，為靈活選擇合適的數(shù)量關系來解決問題打下基礎。

通過這樣三次表格問題的教學實踐，不難看出表格的實際問題作為現(xiàn)實問題的高度概括與抽象，在課堂教學過程中首先要讓學生經(jīng)歷表格問題的形成過程，積累整合問題的經(jīng)驗。其次，還要讓學生經(jīng)歷壓縮表格里的實際問題，抽象出數(shù)量關系的過程。最后，讓學生靈活轉換題目里的已知信息和要解決的問題，生成新的問題，加深不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，這樣才能夠真正發(fā)揮表格問題在幫助學生解決問題時的作用。

（江蘇省南通市崇川學校 226014）endprint

首先讓學生從表格里讀出三個問題，然后解決這樣的問題，并交流。

師：如果把表格向后再拉長，添加一些格子，你能夠向里面填一些問題嗎？

生：原有排球8個，借出了7個，剩多少個？

生：原有作業(yè)本14本，借出了4本，還剩多少本？

……

師：繼續(xù)向后說，能夠說得完嗎？

生：說不完，可以說許許多多的問題。

師：這許許多多的問題有什么相同的地方？

生：都是告訴我們原有的數(shù)量和借出的數(shù)量，求還剩多少的問題，只不過上面的物品不同，有的是毽子，有的是足球，有的是跳繩……

生：后面許許多多的問題其實都和第一個毽子的問題是相同的，都是用原有的減去借出的等于還剩的。

師：真是一個會思考的孩子，從不同的問題中發(fā)現(xiàn)了相同的解決問題的過程。其實，向后可以把表格拉得很長很長（課件出示圖5），補充許許多多的問題。這些問題，我們只要找到了第一題問題的思路（課件出示圖6），那么后面的所有問題都解決了。

上述學習過程中，通過讓學生基于原有的表格問題生成更多的與之相關的問題，學生在展開表格的過程中，豐富了對“原來”“借出”與“還剩”這三者之間數(shù)量關系的認識。再通過對表格的壓縮，讓學生理解雖然問題情境不同，但是解決問題的數(shù)量關系相同，并基于解決問題的過程提煉出基本的數(shù)量關系。學生經(jīng)歷了從豐富的情境中抽象出基本數(shù)量關系的過程，獲得了去除問題情境把握問題中數(shù)量關系的經(jīng)驗，培養(yǎng)了抽象思維能力。

三、經(jīng)歷表格變化過程，獲得問題轉換經(jīng)驗

表格問題的學習，不僅有利于學生從表格中抽象出基本的數(shù)量關系，更有利于學生從中把握同一類型數(shù)量關系，不同表達形式之間的聯(lián)系。在學習表格問題的初始階段，不僅要讓學生能夠解決表格問題，還要學會把問題里的已知信息和要解決的問題進行靈活轉換生成新的問題。在學生第三次學習表格問題時（圖1），筆者安排了如下的學習過程。

首先讓學生觀察第二列表格，從圖中讀出已知信息和問題，想一想如何解決這樣的問題，然后再組織交流。

師：想一想，表格里的括號除了可以在“一共”的位置，還可以在什么位置？這個時候就需要知道哪些信息？你能自己編出問題嗎？

生：括號在男生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和女生的人數(shù)。可以編一共有13人，女生有8人，男生有多少人？

生：括號在女生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和男生的人數(shù)。可以編出一共有16人，男生有7人，女生有多少人？

……

（根據(jù)學生的問題生成相應的表格）

師：剛才我們把已知的信息轉換成了問題，把要解決的問題轉換成了已經(jīng)知道的信息，這樣就出現(xiàn)了一個新的問題。現(xiàn)在你們能夠解決表格中的其他問題了嗎？

（學生獨立解決，然后交流思路）

生：第一個問題是用男生的人數(shù)加上女生的人數(shù)等于一共的人數(shù)，第二個問題是用一共的人數(shù)減去男生的人數(shù)等于女生的人數(shù)，第三個問題是用一共的人數(shù)減去女生的人數(shù)等于男生的人數(shù)。

師：這里都是關于男生數(shù)、女生數(shù)和總人數(shù)的問題，不過，由于我們交換了原來問題里面的已知信息和要解決的問題，所以新問題的解決思路和原來會有一定的差別。

通過讓學生變換問題在表格里的位置，把第一個問題里的已知信息和要解決的問題進行轉換生成新的問題。由于學生經(jīng)歷了在同一表格中生成不同問題的過程，在解決問題的過程中不再用一成不變的思路去思考，而是主動從原有經(jīng)驗中尋找與問題相匹配的數(shù)量關系。生成新問題的過程，也讓學生獲得了從轉換題目里的已知信息和要解決的問題來提出數(shù)學問題的經(jīng)驗，加深對不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，為靈活選擇合適的數(shù)量關系來解決問題打下基礎。

通過這樣三次表格問題的教學實踐，不難看出表格的實際問題作為現(xiàn)實問題的高度概括與抽象，在課堂教學過程中首先要讓學生經(jīng)歷表格問題的形成過程，積累整合問題的經(jīng)驗。其次，還要讓學生經(jīng)歷壓縮表格里的實際問題，抽象出數(shù)量關系的過程。最后，讓學生靈活轉換題目里的已知信息和要解決的問題，生成新的問題，加深不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，這樣才能夠真正發(fā)揮表格問題在幫助學生解決問題時的作用。

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首先讓學生從表格里讀出三個問題，然后解決這樣的問題，并交流。

師：如果把表格向后再拉長，添加一些格子，你能夠向里面填一些問題嗎？

生：原有排球8個，借出了7個，剩多少個？

生：原有作業(yè)本14本，借出了4本，還剩多少本？

……

師：繼續(xù)向后說，能夠說得完嗎？

生：說不完，可以說許許多多的問題。

師：這許許多多的問題有什么相同的地方？

生：都是告訴我們原有的數(shù)量和借出的數(shù)量，求還剩多少的問題，只不過上面的物品不同，有的是毽子，有的是足球，有的是跳繩……

生：后面許許多多的問題其實都和第一個毽子的問題是相同的，都是用原有的減去借出的等于還剩的。

師：真是一個會思考的孩子，從不同的問題中發(fā)現(xiàn)了相同的解決問題的過程。其實，向后可以把表格拉得很長很長（課件出示圖5），補充許許多多的問題。這些問題，我們只要找到了第一題問題的思路（課件出示圖6），那么后面的所有問題都解決了。

上述學習過程中，通過讓學生基于原有的表格問題生成更多的與之相關的問題，學生在展開表格的過程中，豐富了對“原來”“借出”與“還剩”這三者之間數(shù)量關系的認識。再通過對表格的壓縮，讓學生理解雖然問題情境不同，但是解決問題的數(shù)量關系相同，并基于解決問題的過程提煉出基本的數(shù)量關系。學生經(jīng)歷了從豐富的情境中抽象出基本數(shù)量關系的過程，獲得了去除問題情境把握問題中數(shù)量關系的經(jīng)驗，培養(yǎng)了抽象思維能力。

三、經(jīng)歷表格變化過程，獲得問題轉換經(jīng)驗

表格問題的學習，不僅有利于學生從表格中抽象出基本的數(shù)量關系，更有利于學生從中把握同一類型數(shù)量關系，不同表達形式之間的聯(lián)系。在學習表格問題的初始階段，不僅要讓學生能夠解決表格問題，還要學會把問題里的已知信息和要解決的問題進行靈活轉換生成新的問題。在學生第三次學習表格問題時（圖1），筆者安排了如下的學習過程。

首先讓學生觀察第二列表格，從圖中讀出已知信息和問題，想一想如何解決這樣的問題，然后再組織交流。

師：想一想，表格里的括號除了可以在“一共”的位置，還可以在什么位置？這個時候就需要知道哪些信息？你能自己編出問題嗎？

生：括號在男生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和女生的人數(shù)。可以編一共有13人，女生有8人，男生有多少人？

生：括號在女生的位置，就需要知道一共的人數(shù)和男生的人數(shù)。可以編出一共有16人，男生有7人，女生有多少人？

……

（根據(jù)學生的問題生成相應的表格）

師：剛才我們把已知的信息轉換成了問題，把要解決的問題轉換成了已經(jīng)知道的信息，這樣就出現(xiàn)了一個新的問題。現(xiàn)在你們能夠解決表格中的其他問題了嗎？

（學生獨立解決，然后交流思路）

生：第一個問題是用男生的人數(shù)加上女生的人數(shù)等于一共的人數(shù)，第二個問題是用一共的人數(shù)減去男生的人數(shù)等于女生的人數(shù)，第三個問題是用一共的人數(shù)減去女生的人數(shù)等于男生的人數(shù)。

師：這里都是關于男生數(shù)、女生數(shù)和總人數(shù)的問題，不過，由于我們交換了原來問題里面的已知信息和要解決的問題，所以新問題的解決思路和原來會有一定的差別。

通過讓學生變換問題在表格里的位置，把第一個問題里的已知信息和要解決的問題進行轉換生成新的問題。由于學生經(jīng)歷了在同一表格中生成不同問題的過程，在解決問題的過程中不再用一成不變的思路去思考，而是主動從原有經(jīng)驗中尋找與問題相匹配的數(shù)量關系。生成新問題的過程，也讓學生獲得了從轉換題目里的已知信息和要解決的問題來提出數(shù)學問題的經(jīng)驗，加深對不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，為靈活選擇合適的數(shù)量關系來解決問題打下基礎。

通過這樣三次表格問題的教學實踐，不難看出表格的實際問題作為現(xiàn)實問題的高度概括與抽象，在課堂教學過程中首先要讓學生經(jīng)歷表格問題的形成過程，積累整合問題的經(jīng)驗。其次，還要讓學生經(jīng)歷壓縮表格里的實際問題，抽象出數(shù)量關系的過程。最后，讓學生靈活轉換題目里的已知信息和要解決的問題，生成新的問題，加深不同數(shù)量關系之間聯(lián)系的認識，這樣才能夠真正發(fā)揮表格問題在幫助學生解決問題時的作用。

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