讓經驗在“破”與“立”中修正

王焱烽

教學中如何讓學生積累基本活動經驗？這一直是一線教師十分關注的話題。筆者認為，結合具體的教學案例來探討是研究和解決這一問題的有效途徑。不久前，筆者就碰到了這樣一道極富啟發意義的圖形面積計算綜合題。在對這道綜合題的思錯、悟錯過程中，學生主動修正自己的數學活動經驗，取得了較好的教學效果。

一、問題

此題是人教版五年級上《多邊形的面積》單元“整理和復習”后的一道練習題。此題中的小樹由1個三角形、2個梯形和1個長方形組成，數據繁多，靈活性強。對學生解題思路的嚴密性和計算的準確性是一大考驗。

學生在完成了這道題的嘗試作業之后，筆者經過批改、整理，發現該題的解答出現諸多錯誤，其中最大的問題出現在第（2）小題的解答中。根據樣本統計，全班無一人做對。大部分學生都是用“手工紙的面積÷小樹的面積”的方法進行計算。通過教師提示，學生進行了動手操作，結果最終能夠剪出9棵樹的也只有一位同學（而且耗費了很長時間）。

面對這樣的情況，筆者結合學生的計算過程和平時作業進行了思考與分析。

二、思考與分析

1.為什么大部分學生都是用“手工紙的面積÷小樹的面積”的方法？

事實上，從學生學習除法開始，這類“大面積÷小面積=包含的個數”的思考方法，已成為學生頭腦中十分穩固、強勢的問題解決經驗。從整數除法開始，直至學生前一階段所學的小數除法，到多邊形面積的計算習題（如例1，摘自五上年級配套的課堂作業本P.40，該題為三角形面積計算的練習課的課堂練習），無不在暗示學生，“大面積÷小面積=包含的個數”這一方法的普遍適用性。

例1：某班要做一些如圖1所示的直角三角形小紅旗，一張長1.2米、寬0.8米的長方形紅紙，能做這樣的小紅旗多少面？

（1.2×0.8）÷（0.3×0.2÷2）=32（面）

答：能做這樣的小紅旗32面

于是在碰到類似問題情境時，學生提取這樣的方法進行計算成為自然、唯一的方法（如例2）。

例2：人民醫院用一塊長7.2米、寬1.8米的長方 形白布制作包扎用的三角巾（如圖2），能做這樣的三角巾多少塊？

7.2×1.8=12.96（米2）

S=ah÷2=0.9×0.9÷2=0.81÷2=0.405（米2）

12.96÷0.405=32（塊）

答：最多能做32塊這樣的三角巾

從這兩道習題來看，學生經過這樣的練習，頭腦中已然形成了一定的思維脈絡，一旦相似的問題情境出現，頭腦中的原有經驗便被瞬時激活：

我們知道，思維定勢是思維的一種“慣性”，指由于先前的活動而形成的一種心理準備狀態，它使人以比較固定的方式去進行認知并作出行為反應。思維定勢對問題的解決既具有積極作用，也具有消極影響。一方面，思維定勢可以加快學生的解題速度，使學生采用最簡捷的途徑解決問題；但另一方面，當問題情境改變時，思維定勢卻容易導致學生在問題解決方法的選擇上出現不當乃至錯誤。這其實就是學生缺乏“具體問題具體分析”意識的體現。

所以，從學生用大面積除以小面積的方法使用來看，正是積極思維定勢的體現。這種借助原有的思維活動經驗去解決問題的意識是有積極意義的。但本文所述習題，求這樣的小樹可以剪多少棵，也是學生消極思維定勢的體現。

2. 為什么要讓學生完成這樣一道習題，它的練習價值在何處？

這個問題并不指向于錯誤產生的原因。對分析錯誤原因毫不相干。但是，對這個問題的思考，有助于我們在撥開錯誤迷霧過程中，跳出習題看問題。題中的數據可謂繁雜，也不像先前的求圖形面積、求陰影部分面積等習題那樣標識得很清晰。但是深入思考不難發現繁雜的計算并不是該題的目的，那么該題的練習目的、練習意圖究竟是什么？通過這樣的練習，學生從中能獲得哪些有益的數學活動經驗和數學思考方法？先前的學習經驗、問題解決經驗，在此處能派上用場嗎？與這道習題“一脈相承”的其他習題，能否為這道習題提供教學思路？

三、解決

“九層之臺起于累土”，如何幫助學生從思維定勢中“破繭而出”，建立新的思維活動經驗呢？思維的“破”與“立”，并不是一蹴而就的。對于這道題，筆者運用緩坡度、分階段的教學實施過程，讓學生體會思想方法的運用之妙，更重要的是促進學生對新活動經驗的獲得，幫助學生完善問題解決經驗。

第一階段：

1.出示例1（見上文，題略）：你是怎么想的？學生得出：大面積÷小面積=個數

2.出示例2（見上文，題略）：你能解答嗎？

學生在原有經驗的提取、運用下，很快就解決了。不出教師所料，方法依然是：大面積÷小面積=個數。

需要說明的是，例1是學生在課堂作業中完成過的，例2則是筆者在進行作業講評時補充的。這樣的設計，意在經過練習，總結形成經驗，即經過一定數量的“感性經驗”的積累，獲得“理性經驗”——對規律的概括與提升。這是學生從結合三角形面積計算的直觀形式，到抽象的數學活動經驗的初步生成和積累的過程。這一步，對于學生經驗的獲得而言，同樣十分重要。

第二階段：

出示例3：農具廠要切割底和高都是2分米的直角三角形鐵板，現在有一塊長1.3米、寬0.4米的長方形鐵板，最多可以切割這樣的三角形鐵板多少塊？

絕大部分學生的解法仍然如法炮制（圖3），沒有意識到雖然問題情境是相似的，但方法已然不再適用了。

這時筆者進行了適當的引導，學生很快意識到原有經驗的局限性。通過課堂交流、實踐操作，學生在肯定了原先方法的同時，找到了問題所在，并給出了正確的思考方法（圖4）。

學生自行總結：原來“大面積÷小面積”方法有些時候可以用，有些時候卻不能用。像上面圖中，旁邊的小長方形就不能再切割出符合要求的三角形了。endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數×行數=總個數

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經驗的影響，兩種方法都出現了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數=棵數-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現了學生對自身原有的數學活動經驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數學活動經驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經驗積累、經驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養，解決問題的能力得以提升。在后續學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經成為學生的已有經驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現實原型見圖10、學生作業見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業情況，對原有經驗進行肯定、否定、再認可新經驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數學活動經驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經驗。繼而，在后續學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經驗，根據新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經歷過不代表就一定能獲得經驗。經驗的建立和運用是一個動態的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產生中，學生思考、驗證、嘗試的數學活動，都是學生基于原有經驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經驗的螺旋式上升與發展提供了機會。經驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內在結構聯系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產生自我修正方法的積極態度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數學活動經驗的機會。

（浙江省紹興市越城區馬山鎮車恂如小學 312000）endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數×行數=總個數

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經驗的影響，兩種方法都出現了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數=棵數-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現了學生對自身原有的數學活動經驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數學活動經驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經驗積累、經驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養，解決問題的能力得以提升。在后續學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經成為學生的已有經驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現實原型見圖10、學生作業見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業情況，對原有經驗進行肯定、否定、再認可新經驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數學活動經驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經驗。繼而，在后續學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經驗，根據新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經歷過不代表就一定能獲得經驗。經驗的建立和運用是一個動態的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產生中，學生思考、驗證、嘗試的數學活動，都是學生基于原有經驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經驗的螺旋式上升與發展提供了機會。經驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內在結構聯系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產生自我修正方法的積極態度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數學活動經驗的機會。

（浙江省紹興市越城區馬山鎮車恂如小學 312000）endprint

學生在完成了這道習題后，對解題方法進行了反思得出：

生1：我們可以把兩個這樣一模一樣的三角形拼起來。

生2：先算出一行能剪多少個，再算出一共能剪多少行。也就是每行個數×行數=總個數

生3：還可以用畫圖法。先畫一畫圖畫。每行畫幾個，一共可以畫幾行。這樣圖畫里的個數就可以看得很清楚。

第三階段：

1.出示課本習題：用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？

很多學生受前面兩個經驗的影響，兩種方法都出現了（圖5、圖6）。

討論：這兩種做法對嗎？在討論過程中，學生認識到，第一種做法是大面積除以小面積，因為小樹是組合圖形，也可以說是“不規則圖形”，所以不能這樣做。第二種做法比較浪費，因為旁邊還留有很多紙。教師輔以課件演示（圖7）：

2.教師引導：既然這樣“橫”著剪比較費紙，能不能豎著剪？課件演示（圖8）：

觀察：小樹長多少？寬多少？能不能在這張紙中，放下這樣的兩行小樹？

經過教師的引導，學生把注意力放在了兩棵小樹中間的空隙上。

生1：兩棵樹之間有1個空隙，把小樹倒過來剛好是1個空隙的大小。這樣，5棵樹之間共有4個空隙，那么就可以放下4棵小樹。

生2：這就是我們學過的植樹問題嘛！

生3：間隔數=棵數-1。

生4：我知道了，就像是兩個手的手指交叉在一起的樣子。雙手交叉就行了。

教師出示課件（圖9）

方法的運用、總結過程，實際上體現了學生對自身原有的數學活動經驗的修正過程。從最初的“大面積÷小面積”，到后來的“畫圖相乘法”，再到最后的“雙手交叉法”，課堂上學生分析、總結方法，有助于個體經驗的主動改造、豐富和提煉，有助于自身數學活動經驗的充實、完善。

或者有人會問：這個方法后續學習中有沒有用呢？其實這樣的學習，不僅僅只是開闊了經驗積累、經驗修正。更重要的是，在學生思維方法的庫存得以豐實的同時，策略意識得以培養，解決問題的能力得以提升。在后續學習中，學生需要提取“雙手交叉法”的經驗，只是，那時的“雙手交叉法”，已經成為學生的已有經驗了（見例4，“雙手交叉法”——間隔中嵌入的現實原型見圖10、學生作業見圖11）。

例4：在長12.4cm、寬7.2cm的長方形紙中，剪半徑是1cm的圓。能剪多少個？（人教版六年級下冊總復習P.100）

四、說明

本次干預過程，實際上并不是一次就能完成的。新方法的學習，是需要建立在學生已有方法、知識運用與思維水平之上的。分階段——結合當時學生的作業情況，對原有經驗進行肯定、否定、再認可新經驗的分次教學。緩坡度——讓學生對頭腦中的已有數學活動經驗進行分析、比較，直至形成自己較為完善的問題解決結構。每一階段的教學，不應排斥原有方法和經驗，但必須給予學生認識到已有方法的局限性的機會。不斷尋求新方法，從而形成新經驗。繼而，在后續學習中，能綜合運用所獲得的知識、方法、思想、經驗，根據新情境完成新任務。

還需指出的是，剪小樹這道題確實比較難。部分學生在教師的講解后，也仍然存在理解上的困難。即使是在有學生給出“手指交叉”的手勢后，仍然對此題心存疑惑與恐懼之感。筆者認為，后續教學中，教師仍需要通過具體的問題情境，幫助學生在運用中加深對方法的體驗。

經歷過不代表就一定能獲得經驗。經驗的建立和運用是一個動態的、不斷積累、豐富反思的過程。在新的問題、新的情境、新的猜想產生中，學生思考、驗證、嘗試的數學活動，都是學生基于原有經驗進一步主動修正、建構的過程。這個過程，為學生經驗的螺旋式上升與發展提供了機會。經驗，可以促進成長，卻也可能阻礙成長。不同方法在不同問題情境中的反復運用，有助于學生走出思維定勢，減少消極的思維定勢帶來的不利影響。通過不斷地體驗與感悟，溝通方法之間的內在結構聯系，有助于學生認識各種不同方法的局限性或者普遍適用性，從而產生自我修正方法的積極態度。從這個意義上來說，作為教師，要積極給予學生“破”“立”交替，主動獲取數學活動經驗的機會。

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