衛星星座區域覆蓋問題的快速仿真算法*

宋志明 戴光明 王茂才 彭 雷

中國地質大學計算機學院，武漢 430074

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衛星星座區域覆蓋問題的快速仿真算法*

宋志明 戴光明 王茂才 彭 雷

中國地質大學計算機學院，武漢 430074

針對衛星星座對地面區域的覆蓋性問題，提出一種快速求解方法—經度條帶法。首先將全球劃分為若干個經度條帶，并得到一個地面區域所在的緯度區間，然后根據球面幾何關系和衛星覆蓋與幾何形狀計算衛星對每個條帶的覆蓋情況，最后再綜合統計得到覆蓋率。基于此方法，推導了星座瞬時性覆蓋和時段總覆蓋的計算公式。數值仿真實驗表明，該算法計算結果精確，具有較好的穩定性，計算效率較高。

衛星星座； 區域目標；覆蓋計算； 經度條帶法；網格點法

隨著衛星技術的發展，由多顆衛星組成的衛星星座系統得到廣泛應用。衛星星座對地面區域的覆蓋問題作為衛星星座系統的一個基本問題而得到廣泛的關注[1]。

衛星星座對地覆蓋問題的求解方法一般有解析法和數值法兩大類。由于衛星對地覆蓋情況受很多因素影響[2]，而且幾何特征復雜，同時還涉及攝動與歲差章動等影響，使得采用解析法在解決此類問題時比較困難。

傳統的解決方案一般采用數值方法，常用的數值方法主要是網格點法。網格點法由Morrison[3]在1973年研究圓軌道與橢圓軌道星座的多重覆蓋時提出，該方法是將區域按照某種規則劃分為若干個網格點，通過衛星對網格點的覆蓋情況表示對整個網格的覆蓋情況，從而計算對整個區域的覆蓋情況。網格點法按照劃分規則的不同,一般可分為按經緯度劃分網格點、按距離劃分網格點和按面積劃分網格點[4-5]。該算法的主要缺點是計算效率較低，空間復雜度較高。當區域面積很大，算法精度要求較高，仿真時間較長時，該算法計算時間會變得很長，甚至無法計算。除此之外，還有其它方法來解決區域覆蓋問題，如采用區域內覆蓋圓弧段進行區間交并運算[6]或者對覆蓋區域進行解析等[7]，但這些算法不是精度較低，就是算法只適用于特殊情況，致使在實際應用中受限。

本文提出一種新的算法，經度條帶法。相比現有算法，該算法效率較高，算法結果精確，同時可以針對任何區域覆蓋情況，算法普適性高。

1 基本概念和假設

首先闡述本文中用到的一些基本定義。

定義1：經度條帶。中央經度為θ的經度條帶是指在地球表面上的一個區域范圍，假設其條帶寬度為dθ，則它表示經度范圍為[θ-dθ/2,θ+dθ/2]，緯度范圍為[-π/2,π/2]之間的區域。即由2條經線(θ-dθ/2)和(θ+dθ/2)圍成的圖形。

定義2：緯度區間。一條經度條帶的緯度范圍是[-π/2,π/2]，經度條帶上的緯度區間是指該經度條帶上的該緯度范圍的一個子區間，中心經度為θ的經度條帶上的緯度區間為[φL,φU]，表示的是地球表面上經度范圍為[θ-dθ/2,θ+dθ/2]，緯度范圍為[φL,φU]的一塊區域。

定義3：區域緯度區間。區域緯度區間是一個緯度區間，該緯度區間的邊界是由經度條帶的中央經線與區域目標邊界相交而成，它表示的范圍是該經度條帶與區域目標的交集。

定義4：覆蓋緯度區間。覆蓋緯度區間是一個緯度區間，該緯度區間的邊界是由經度條帶的中央經線與衛星覆蓋區域相交而成，它表示的范圍是該經度條帶與衛星覆蓋區域的交集。多顆衛星對某經度條帶的覆蓋緯度區間的并集也稱為該經度條帶的覆蓋緯度區間。

定義5：區域覆蓋緯度區間。某條經度條帶的區域覆蓋緯度區間，就是該經度條帶的區域緯度區間與覆蓋緯度區間的交集。

本文主要研究衛星星座對地面區域的空間覆蓋特性。按照覆蓋的持續時間不同，覆蓋問題可以分為瞬時覆蓋和時段性覆蓋。瞬時覆蓋是指在某時刻下衛星星座對目標區域的覆蓋，時段性覆蓋是指在某個時間范圍內衛星星座對目標區域的覆蓋。

文中的公式推導是將地球作為標準球體、衛星視場為簡單圓錐視場來進行計算，但該經度條帶算法本身并沒有此種限制，可以擴展到標準橢球體上計算，但相應的公式需要進行相應的修改。

對于本文提出的經度條帶法，它對區域目標的形狀沒有要求，可計算任何形狀的區域目標。

2 算法的思路與基本流程

用解析方法來處理區域覆蓋率計算問題的難點在于多顆衛星相互交并與區域范圍交并運算的復雜，尤其以上運算是在球面或者橢球面上進行，會導致計算困難，甚至不可運算。

經度條帶法的基本思路是:將地球表面化為一個個很狹窄的經度條帶，如圖1所示，然后以每個小的經度條帶作為分析對象，分析星座在一個計算時段內對該經度條帶的覆蓋情況，當經度條帶寬度dθ足夠小時，經度條帶同一緯度內沿經度方向變化很小，可以認為只有一個方向的變化情況。因此將復雜的交并問題變成了一個一維區間的交并問題，而使分析比較簡單。然后對所有條帶情況進行綜合，就可以得到該區域覆蓋率計算結果。

圖1 經度條帶劃分示意圖

具體計算步驟如下：

1) 選擇一個未計算的區域；

2) 獲取該區域所在的經度范圍，并計算星座對該區域的時間窗口;

3) 根據精度要求選擇經度條帶的寬度dθ，然后將該區域按照寬度dθ劃分為若干個經度條帶;

4) 根據區域的邊界，計算該區域每個經度條帶的區域緯度區間;

5) 選擇一個未處理的時間窗口;

6) 對該區域的每個經度條帶，計算該時間窗口下對應的區域覆蓋緯度區間;

7) 如果該區域所有時間窗口都處理完成，跳轉至步驟8)，否則，跳轉至步驟5);

8) 通過該區域所有經度條帶的區域覆蓋緯度區間，計算星座在該計算時段內對該區域的覆蓋率;

9) 如果沒有計算完所有的區域，則跳至步驟1)，否則，算法結束。

該算法與網格點仿真法有某些相似之處，但2種方法在核心思想上有本質差別。網格點仿真法是一種基于概率論抽樣的思想為理論基礎的算法，而經度條帶法是一種基于微積分中“微元”的思想及理論基礎的方法。在計算過程中，將一條經度條帶作為一個對象來進行統一考慮，使該方法不再是一種數值計算方法，而是一種半解析方法，對覆蓋計算問題進行一定的解析。同時，當條帶寬度足夠小，使得一條經度條帶就是球面上的一維流形，星座對區域的覆蓋問題轉換為球面上2個流形之間相互關系的計算問題，因此微分幾何中的很多結論可以引入覆蓋計算問題中。

3 單顆衛星區域覆蓋緯度區間計算

3.1 瞬時覆蓋下區域覆蓋緯度區間計算

如果時刻t下衛星對該經度條帶沒有覆蓋，則對該衛星區域覆蓋緯度區間為空。

圖2 衛星對經度條帶的瞬時覆蓋示意圖

如果該時刻衛星S對該經度條帶有覆蓋，衛星與經度條帶幾何關系如圖2所示，衛星的星下點為O，星下點經緯度為(θ0,φ0)，AB是經度為θ的經線，U,L為衛星覆蓋圓與經線的交點。衛星對地面上經緯度為(θ,φ)的點有覆蓋，則需要滿足

cosφcosφ0cos(θ-θ0)+sinφsinφ0>cosα

(1)

則當θ滿足下式

(2)

時，式(1)在實數域內有解，即衛星與該經線相交。

當衛星與經線相交時，計算相交的緯度范圍。令

(3)

(4)

(5)

(6)

3.2 時段性覆蓋下區域覆蓋緯度區間計算

在衛星調度、災害預警或軍事應用等問題中，往往需要對一段時間內星座對一個區域的覆蓋總和進行要求。這種需求往往對某一時刻衛星對地覆蓋情況不感興趣，而對一段時間星座對目標區域的覆蓋總和感興趣。這類問題稱之為時段性覆蓋問題。

時段性覆蓋問題是計算在一個時間段[tS,tE]內衛星對區域覆蓋范圍的總和，即對區域內某點X，如果存在某個時刻t∈[tS,tE]，衛星可覆蓋點X，則認為在時間段[tS,tE]內衛星S可覆蓋點X。

圖3 衛星對經度條帶連續覆蓋示意圖

如圖3所示，AB是中央經度為θ的一條經度條帶，P到Q為衛星星下點軌跡的一段。M和N為同一衛星在2個不同時刻的位置，當衛星星下點在M點時能覆蓋該經度條帶上最小的緯度點L，當衛星星下點在N點時能覆蓋該經度條帶上最小的緯度點U。由于衛星的位置是一個隨時間連續變化的過程，則在一個時間窗口內衛星對一個經度條帶的覆蓋緯度區間是一個連續區間。要計算一個經度條帶的覆蓋緯度區間，只需要計算覆蓋的邊界值，即U，L即可。該經度條帶上U，L之間的點是必然可以被覆蓋的。

對一個衛星周期內一條特定的經度條帶，選擇對該經度條帶有覆蓋的一段衛星的星下點區間，對每個衛星的位置，都可以得到該位置下衛星對經度條帶的覆蓋緯度區間的覆蓋上界和下界，則覆蓋上界和下界可以視作衛星位置的函數，且易知，在對該經度條帶有覆蓋的星下點區間邊界上，覆蓋上界和覆蓋下界是重合的，則2個函數在定義域范圍內是合攏成一個環的。

通過式(5)得到的覆蓋緯度區間的上界與下界，對一條特定的經度條帶，覆蓋緯度區間的上界與下界可以看做是在某個小的定義域對于低軌衛星，有以下結論：在一個時間窗口下，覆蓋緯度區間上界和下界對時間而言是一個單峰函數。證明如下：從經度條帶上選擇一點，以衛星對地覆蓋圓半徑為半徑作球面圓，則該球面圓與衛星的星下點軌跡可能有0個，1個或者2個交點(低軌衛星，覆蓋圓曲率半徑小于星下點軌跡上點的曲率半徑)，如圖4所示，從經度條帶上取一點K，以衛星的覆蓋圓半徑為半徑作球面圓與衛星的星下點軌跡相交于A，B兩點。則可知，當衛星在A，B兩點時可恰好覆蓋K點，即衛星在A，B兩點時K點為衛星的覆蓋上界或者下界。而衛星星下點不在A，B兩點時，覆蓋上界或者下界都不能為K點。即每個緯度值(因變量)最多可以反解出2個衛星位置(自變量)的值，同時，由于覆蓋上界函數和下界函數合攏為一個環，則命題得證。

圖4 經度條帶上一點作圓與星下點軌跡的交點

圖5 對經度條帶有覆蓋的緯度范圍隨緯度幅角的變化

(7)

(8)

4 區域覆蓋緯度區間與覆蓋率計算

對每顆衛星，都可以計算其區域覆蓋緯度區間，則衛星星座的區域覆蓋緯度區間即為所有衛星區域覆蓋緯度區間之并。

(9)

經度條帶的寬度為dθ，緯度區間為[φ1,φ2]。則該緯度區間對應的面積為

S[φ1,φ2]=R2(sinφ2-sinφ1)dθ

(10)

Sθ=∑S[φ1,φ2]

(11)

該星座在該時刻或者時段內對該區域總覆蓋面積為：

(12)

要計算覆蓋率，還需要計算區域面積，區域總面積為：

(13)

則該仿真時段內星座對區域目標的覆蓋率

(14)

5 數值仿真實驗

由于在時段性覆蓋計算過程中實際采用了瞬時覆蓋的結論，因此只要驗證時段性覆蓋結果的正確性即可以保證對瞬時覆蓋結果的正確性，在本數值仿真實驗中只驗證時段性覆蓋結果的正確性。

設計一組實驗，星座中包含2顆衛星，衛星及傳感器相關參數如表1所示，2顆衛星共同完成覆蓋任務。要覆蓋的區域總共有3個，區域的頂點數據如表2所示。本文中經度條帶法與經典網格點法進行對比，網格點法參照文獻[8],按照等面積取點方式計算。仿真起始時刻為2013年1月1日00:00:00(UTCG)，仿真時常為6h。

表1 衛星軌道根數

表2 區域目標頂點經緯度(°)

定義計算精度為在赤道上1km的寬度內包含的經度條帶的數目，或者赤道上1km的寬度內包含的網格點的列數，默認一個網格點的經度方向的間隔與緯度方向的間隔是相等的。

圖6～8是衛星星座對3個區域在仿真時段內的覆蓋率隨計算精度的變化圖，x軸表示計算精度，由于計算精度范圍跨度較大，因此采用對數坐標，y軸表示衛星星座在仿真時段內對區域的覆蓋率。可以知道，隨計算精度的提高，經度條帶法的計算結果與網格點法的計算結果趨于一致，由此可以證明經度條帶法的正確性。同時，由圖6～8可知，在計算精度較低的時候，網格點法計算偏離實際值較大，而經度條帶法計算結果與實際值有偏離，但偏離較小，因此，相比網格點法，經度條帶法算法具有較好的穩定性。

圖6 星座對區域1的覆蓋率隨計算精度的變化

圖7 星座對區域2的覆蓋率隨計算精度的變化

圖8 星座對區域3的覆蓋率隨計算精度的變化

圖 9是星座對3個區域在仿真時段內的覆蓋率的計算時間隨計算精度的變化關系圖，x軸表示計算精度，采用對數坐標，y軸表示區域覆蓋率的計算時間，采用對數坐標。由圖 9可知，網格點法計算時間隨著計算精度增加而迅速增加，而對經度條帶法，當計算精度增加時，計算時間增加比較緩慢。因此在計算時間上，經度條帶法計算效率較高。

圖9 區域的覆蓋率計算時間隨計算精度的變化

6 結論

提出一種新的高效求解衛星星座區域覆蓋問題的新方法:經度條帶法。該方法以微積分中“微元”思想為核心,同時，經度條帶法將一條經度條帶作為一個計算對象統一考慮，在球面上引入了一個一維的流形，衛星覆蓋范圍與經度條帶的相交性計算相當于2個具有一定流形結構的幾何對象之間的運算，使得計算方法不再是完全的數值方法，而是一種半解析方法，從而使得該方法具有能夠解決更多問題的潛力。

采用經度條帶法對衛星的瞬時性覆蓋與時段總覆蓋進行求解，由算法分析及數值仿真實驗可知，經度條帶法對覆蓋率計算結果在精度上達到計算要求，但計算性能遠優于網格點法，大大降低了算法的復雜度。

文中僅對簡單圓錐體傳感器進行分析，同時將地球作為標準球體考慮。但由于經度條帶法引入一維流形，使得對這些問題都是可以求解的。經度條帶法如何應用于其它類型傳感器，以及考慮地球扁率和攝動下的求解算法，是下一步要進行的工作。

[1] Rainer S, Klaus B, Marco D E. Small Satellites for Global Coverage: Potential and Limits[J]. ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 2010,65(6):492-504.

[2] Leila M, Nader M, Adel H. Determination of the Best Coverage Area for Receiver Stations of LEO Remote Sensing Satellites[J]. ICTTA, 2008.

[3] Morrison J J.A System of Sixteen Synchronous Satellites for Worldwide Navigation and Surveillance[M]. Defense Technical Information Center, 1973.

[4] 何勇軍,戴金海.多衛星非規則覆蓋區域的通用求解算法[J].計算機仿真,2005,22(12):24-27. (He Yongjun, Dai Jinhai. General Algorithms for Searching the Irregular Earth Coverage Regions of Multi-Satellite Systems[J]. Computer Simulation, 2005, 22(12): 24-27.)

[5] 簡平,鄒鵬,熊偉,等.改進的低軌凝視傳感器覆蓋性能網格分析方法[J].空軍工程大學學報 (自然科學版), 2012, 13(3): 35-39. (Jian Ping, Zou Peng, Xiong Wei, et al. Improved Grid Method for Analysis on Coverage Performance of Staring Sensors Based LEO[J]. Journal of Air Force Engineering University(Natural Science), 2012, 13(3): 35-39.)

[6] 閆野,任萱,陳磊.衛星對地球覆蓋情況的判據及算法探討[J].宇航學報, 1999, 20(2):55-60. (YAN Ye, REN Xuan, CHEN Lei. Criterion and Algorithm of Satellites Coverage Situation[J]. Journal of Astronautics, 1999, 20(2): 55-60.)

[7] Ulybyshev Y. Satellite Constellation Design for Complex Coverage[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2008, 45(4): 843-849.

[8] 鄧勇,王春明,張中兆.紅外低軌星座凝視傳感器的空間覆蓋性能分析[J].宇航學報, 2011,32(1):123-128. (DENG Yong, WANG Chunming, ZHANG Zhongzhao. Analysis on Coverage Performance of Staring Sensors Infrared LEO Constellation[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(1): 123-128.)

TheFastSimulationAlgorithmforSolvingeAreaCoverageProblemofSatelliteConstellation

SONG Zhiming DAI Guangming WANG Maocai PENG Lei
Computer College, China University of Geosciences, Wuhan, Hubei 430074, China

Aimingatcalculatingthecoverageproblembetweensatelliteconstellationandthegroundregions,anefficientmethodwhichnamedlongitudestripemethodisimplemented.Firstly,theglobalisdividedintomanylongitudestripes,andthenthecoverstateofeachlongitudestripeiscalculatedbymeansofthesphericalgeometryrelationship.Finally,thecomprehensivestatisticsismadetogetthecoveragerate.Basedonthismethod,theinstantcoverageformulaandtimerangecoverageformulaarederived.Thesimulationresultsshowthatthecalculationresultisaccurateandthisalgorithmhasagoodstabilityandhighefficiency.

Satelliteconstellation;Areatarget;Coveragecalculation;Longitudestripemethod;Net-pointmethod

*十二五民用航天預先研究基金;國家自然科學基金(61103144);中國博士后科學基金 (2012T50681；2011M501260)

2014-02-25

宋志明(1986-),男，山東人，博士研究生，主要研究方向為衛星星座設計分析；戴光明(1964-)，男，安徽人，教授，博士生導師，主要研究領域為優化算法；王茂才(1974-)，男，湖北人，博士后，副教授，主要研究領域為衛星調度；彭雷(1980-)，男，湖北人，博士，講師，主要從事軌道設計與優化研究。

V474

： A

1006-3242(2014)05-0065-06