一道2013年全國初中數學競賽題的再研究

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(秦都中學 陜西咸陽 712000)

題目如圖1，已知在四邊形ABCD中，AB=DC，E,F分別為AD與BC的中點，聯結EF與BA的延長線相交于點N，與CD的延長線相交于點M，求證：∠BNF=∠CMF.

(2013年全國初中數學聯賽初二組初賽試題)

文獻[1]中作者從不同角度給出了該試題的8種證法及推廣，筆者受益匪淺，啟發很大.由于本試題中E,F分別是AD和BC的中點及AB=DC的特殊性，才能獲得∠BNF=∠CMF.如果E,F的位置不再特殊，當AB≠DC時，∠BNF與∠CMF的關系又會怎樣？∠BNF與∠CMF能相等嗎？為此筆者對此題作了進一步探究，給出了此題的3種變式.

變式1將原題中條件“E,F分別為AD,BC的中點”變為“AE=λED，BF=λFC”，其他條件不變，∠BNF與∠CMF的關系如何？

圖1 圖2

定理1已知四邊形ABCD中，AB=DC，E,F分別為邊AD和BC上的點，滿足AE=λED，BF=λFC，聯結EF與BA延長線相交于點N，與CD延長線相交于點M，則sin∠BNF=λsin∠CMF.

分析由于∠BNF和∠CMF及AB和DC都不在同一個三角形中，考慮到AE∶ED=BF∶FC=λ∶1,因此可過點E作EK∥DC交AC于點K，聯結KF，將分散的條件集中在△EFK中，利用正弦定理證之.

證明如圖2，過點E作EK∥DC，聯結FK,因為

從而

KF∥AB,

所以

∠CMF=∠KEF，∠BNF=∠KFE.

在△EFK中，由正弦定理得

即

從而

sin∠KFE=λsin∠KEF,

故

sin∠BNF=λsin∠CMF.

推論1(1)當λ>1時，∠BNF>∠CMF；(2)當λ=1時，∠BNF=∠CMF；(3)當λ<1時，∠BNF<∠CMF.

變式2若條件“AB=DC”變為“AB=λDC”，其他條件不變，這時∠BNF與∠CMF的關系怎樣呢？

定理2已知在四邊形ABCD中，AB=λDC，E,F分別為AD，BC的中點，則sin∠CMF=λsin∠BNF.

推論2(1)當λ>1時，∠CMF>∠BNF；(2)當λ=1時，∠CMF=∠BNF；(3)當λ<1時，∠CMF<∠BNF.

證明此處略.

變式3若條件“AB=DC”變為“AB=μDC”，“E,F分別為AD，BC的中點”變為“AE=λED，BF=λFC”，這時∠BNF與∠CMF的有何關系？

定理3已知在四邊形ABCD中，AB=DC，E,F

分別為AD和BC邊上的點，滿足AE=λED，BF=λFC，則

μsin∠CMF=λsin∠BNF.

分析過點E作EK∥DC交AC于點K，聯結KF，只要證明KF∥AB即可.將∠BNF,∠CMF及AB,DC集中在△EFK中，由正弦定理可證之.

圖3

證明如圖3，過點E作EK∥DC交AC于點K，聯結KF.由EK∥DC,得

又

從而

于是

KF∥AB.

又因為

AE=λED，BF=λFC,

所以

在△EFK中，由正弦定理得

即

故

μsin∠CMF=sin∠BNF.

推論3(1)當μ=λ時，∠CMF=∠BNF；(2)當μ>λ時，∠CMF>∠BNF；(3)當μ<λ時，∠CMF<∠BNF.

在定理3中，若μ=1，即為定理1；若λ=1，即為定理2.可見定理3是定理1和定理2的推廣.

參 考 文 獻

[1] 章禮抗.對一道2013年全國初中數學競賽題的剖析[J].中學教研(數學),2013(10)：43-45.