一道聯賽試題的多視角求解

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(黃陂區第一中學盤龍校區 湖北武漢 430312)

競賽試題通常凝聚著命題專家的智慧，解題視角廣、途徑多,富含著數學的精神、思想和方法.對于一個數學問題，若能根據已知與要求之間的關系，發散思維，善于聯系，多角度深入的思考，可以得到多種不同的解法，從而訓練思維的靈活性，優化思維品質．

本題是2013年湖北省高中數學聯賽高一試題的第11題．求函數值域大家再熟悉不過，然而當你動筆去做時，你會發現，此題看似平淡，其實意蘊不凡.下面給出筆者的一些思考．

視角1單調性解 彰顯通法

從而

故

①若x∈[1,+∞)，則當x=1時y=1;當x→+∞時，y→+∞,故y≥1.

②若x∈(-∞,-1]，則當x=-1時，y=1；當x→-∞時，

故

評析單調性是函數性質的靈魂，借助單調性求函數的值域是中學階段最為重要的方法之一．有些函數的單調性可直接分析函數的結構特征，而有些則需要借助導數求解.解法1的關鍵是當x≤-1時對式子進行恰當變形，將變量集中在一個式子中，目的是分析出函數的單調性；解法2利用導數判斷單調性是通法，充分體現了導數的應用價值.

視角2合理換元 意在簡化

由0≤sinθ≤1，知y≥1.

由

0≤sinθ<1,1≤1+sinθ<2，

知

將式(2)平方得

將式(1)代入式(3)得

即 4yt-y+2t=0.

(4)

從而

于是

故

評析解法3聯想三角函數中的平方關系，借助三角換元，順利將根號去掉，最后利用三角函數的有界性來解題．解法4采用均值換元，先通過平方去掉根號，再借助關于t的一元二次的方程有符合條件的根求解．換元法是數學解題中的基本方法，表達式中的根號無疑是解題中的最大障礙，以上2種解法的初衷都是去掉根號.

視角3以形助數 貴在直觀

圖1

n2=m(m-1)，

其中m≥0，即

評析“數形結合”的思想是高中階段重要的數學思想，不少代數問題都有其幾何背景.挖掘這些幾何特征，“以形助數”能讓問題的解決更直觀簡捷，也體現了命題人“多一點想，少一點算”的指導思想．

視角4巧妙反解 避重就輕

平方得

y2-2yx2=-x2,

即

(1-2y)x2=y2.

故

評析數學也是一個充滿思辨性的學科，“主與次”、“動與靜”在很多時候是可以相互轉化的，解法6正好體現了這一思想的運用，值得體會．

視角5不等式法 自然天成

解法7若x∈[1,+∞]，略.若x∈(-∞,-1]，顯然y≤1，又因為

評析本題的難點在于當x≤-1時的求解，在放縮過程中，雖然等號取不到，但可無限接近．原本不等式的運用難在配湊，而此題無需配湊，自然天成，命題人可謂用心良苦，讓人拍案叫絕！

解題是數學的永恒主題，數學的解題歷程是一項富有挑戰性的活動，每一次的解題思維過程都會給我們留下深刻的解題體驗和感悟．《新課標》明確提出了使學生獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的目標要求．以上提供的7種解法，涉及函數、導數、三角、不等式等諸多知識，用到了換元、構造、反解等重要方法，滲透了分類討論、數形結合、等價轉化、函數與方程等核心思想．