Weitzenbock不等式的一個有趣隔離猜想的解決

●

(廣雅中學 廣東廣州 510160)

當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立．文獻[1]從新的角度給出它的一個有趣隔離如下：

定理1[1]在△ABC中，設a,b,c分別為BC,CA,AB的邊長，相應于頂點A,B,C的中線長為ma,mb,mc，內角平分線長為wa,wb,wc，高線長分別為ha,hb,hc，△ABC的面積記為S，則

當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立．

進而提出如下猜想：

猜想[1]在△ABC中，設a,b,c分別為BC,CA,AB的邊長，相應于頂點A,B,C的中線長為ma,mb,mc，內角平分線長為wa,wb,wc，高線長分別為ha,hb,hc，△ABC面積記為S，則

當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立.

經探討發現，左邊不等式不成立，中間和右邊不等式成立．

在△ABC中，取a=b=5,c=2，則

ab+bc+ca=5×5+5×2+2×5=45，

下證中間不等式成立，為此，將其加強為

定理2在△ABC中，設a,b,c,s分別為BC,CA,AB的邊長和半周長，相應于頂點A,B,C的內角平分線長為wa,wb,wc，高線長分別為ha,hb,hc，△ABC的面積記為S，則

當且僅當△ABC為等邊三角形時，等號成立．

(ab+bc+ca)2≥a2(a+b+c)(b+c-a)+b2(a+b+c)(c+a-b)+c2(a+b+c)(a+b-c)

?a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2≥0?2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2≥0

?(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2≥0.

參 考 文 獻

[1] 秦慶雄，范花妹.Weitzenbock不等式的一個有趣隔離[J]．中學教研(數學)，2014(1):41-42.