論數(shù)列通項(xiàng)公式的存在性與唯一性

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(隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系 甘肅成縣 742500)

(1)1，2，4，….

這道題，其本質(zhì)是數(shù)列的通項(xiàng)公式！這類問(wèn)題的目的在于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)或建構(gòu)模式的能力.

與小學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)中這種類型的題目就更多了，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課外作業(yè)中、數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽之類的書或練習(xí)題中，就連平時(shí)測(cè)驗(yàn)或期中(期末)考試中都頻頻出現(xiàn)，也不提“數(shù)列”二字，更不提“通項(xiàng)公式”，只給出前幾個(gè)數(shù)或單項(xiàng)式，讓學(xué)生找出規(guī)律.例如，在學(xué)生的課外作業(yè)中，有這樣一道題：觀察下列數(shù)或單項(xiàng)式，分別寫出其中的第n個(gè)數(shù)或單項(xiàng)式：

(1)3，6，5，….

(2)x，-2x2，4x3，-8x4，….

這道題，其本質(zhì)也是數(shù)列的通項(xiàng)公式！

在高中數(shù)學(xué)中，一般把“數(shù)列”單獨(dú)設(shè)為一章，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是十分常見(jiàn)的題型.例題中有此題型，習(xí)題中有此題型，數(shù)學(xué)課外作業(yè)中有此題型，平時(shí)的測(cè)驗(yàn)或中期(期末)考試中有此題型，數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中有此題型，就連人們關(guān)注度最高的高考數(shù)學(xué)試題中也有此題型.當(dāng)然，在高中數(shù)學(xué)中，這類問(wèn)題的目的是要培養(yǎng)學(xué)生從具體項(xiàng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用公式加以刻畫的能力.

除選擇合適的開(kāi)發(fā)位置以外，還必須要對(duì)商業(yè)綜合體的開(kāi)發(fā)進(jìn)行合理的規(guī)劃，為了確保規(guī)劃工作的順利有效開(kāi)展，首先要對(duì)城市擁有的實(shí)際經(jīng)濟(jì)水平和消費(fèi)實(shí)力進(jìn)行調(diào)查了解，另外，還需要做好城市交通規(guī)劃、土地使用政策以及政府對(duì)商業(yè)綜合體開(kāi)發(fā)的支持政策等因素進(jìn)行全面的考慮分析，盡量能夠使商業(yè)綜合體的建設(shè)定位更加準(zhǔn)確，對(duì)未來(lái)商業(yè)綜合體的持續(xù)較好發(fā)展發(fā)揮積極促進(jìn)作用，同時(shí)還能夠使風(fēng)險(xiǎn)獲得有效地降低和避免。

看來(lái)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，不僅是高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，更是小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容.盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)中不提“數(shù)列”與“通項(xiàng)公式”這些詞，但數(shù)列通項(xiàng)公式的思想與方法已滲透其中.因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師與初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備數(shù)列通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，這是數(shù)學(xué)課程與教學(xué)對(duì)小學(xué)和初中數(shù)學(xué)教師的必然要求.

但是，近幾年在數(shù)列通項(xiàng)公式的解題中出現(xiàn)了幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1數(shù)列通項(xiàng)公式的唯一性問(wèn)題.

舉例來(lái)說(shuō)明，觀察規(guī)律：1，2，4，…，寫出其中的第4個(gè)數(shù)、第9個(gè)數(shù)、第100個(gè)數(shù)(這樣的題目常出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)中).

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)3個(gè)已知點(diǎn)(1,1)，(2,2)，(3,4),則

解得

從而

就是前3項(xiàng)為1，2，4的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

到此，我們清楚地看到，數(shù)列1，2，4，…的第4項(xiàng)是8是正確的，是7也是正確的，是任何實(shí)數(shù)都可能是正確的.

在這個(gè)意義下，我們從另一個(gè)視角又清楚地看到，給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)(比如前3項(xiàng))，寫出其后的某一項(xiàng)(比如第4項(xiàng))，這樣的題顯得其意義和價(jià)值就不大了.

從上面的推理得到一個(gè)事實(shí)：給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，其通項(xiàng)公式不唯一.

緊接著的一個(gè)問(wèn)題是：

問(wèn)題2給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，其通項(xiàng)公式有多少個(gè)？

設(shè)數(shù)列：a1,a2,a3,a4,…，令f(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3，函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)4個(gè)已知點(diǎn)(1，a1)，(2，a2)，(3，a3)，(4，a4)，則

即

57a2-26a1)x-a4+10a3+6a2+4a1.

57a2-26a1)n-a4+10a3+6a2+4a1,

從上式可看出：當(dāng)a1，a2，a3確定，a4不確定(a4取實(shí)數(shù))時(shí)，f(n)也不確定，即說(shuō)明，當(dāng)一個(gè)數(shù)列給出前3項(xiàng)時(shí)，其通項(xiàng)公式存在但不確定.因此，我們可以說(shuō)：給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，其通項(xiàng)公式有無(wú)窮多個(gè).

問(wèn)題3數(shù)列通項(xiàng)公式的存在性問(wèn)題.

舉例來(lái)說(shuō)明，觀察規(guī)律：3，6，5，…，寫出其中的第n個(gè)數(shù).這是一位初中學(xué)生購(gòu)買的課外練習(xí)冊(cè)中的一道題.這位初中學(xué)生不會(huì)做，他問(wèn)一位高中學(xué)生，高中學(xué)生的回答是：這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不存在！又問(wèn)其老師，老師也沒(méi)有認(rèn)真對(duì)待，看了一眼說(shuō)：這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不存在吧！

那么，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式究竟存在不存在呢？現(xiàn)在，我們令an=-2n2+9n-4(n=1，2，3，…)，當(dāng)n=1，2，3時(shí)，得到數(shù)列的前3項(xiàng)就是3，6，5.這就是說(shuō)，數(shù)列3，6，5，…的通項(xiàng)公式是存在的.

這個(gè)例子說(shuō)明：給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，其通項(xiàng)公式是存在的.

其實(shí)，更為普遍的一個(gè)事實(shí)是：任何一個(gè)數(shù)列，其通項(xiàng)公式是存在的.

首先，我們要弄清楚何謂“數(shù)列”、何謂“通項(xiàng)公式”？在高中數(shù)學(xué)教材中把“按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列”，“如果一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式”.而數(shù)列，其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義原本就是指一個(gè)函數(shù)f(n)(n=1,2,3,…)，當(dāng)n取有限個(gè)正整數(shù)時(shí)為有窮數(shù)列，當(dāng)n取無(wú)限個(gè)正整數(shù)時(shí)為無(wú)窮數(shù)列.從這個(gè)定義來(lái)看，任何一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

最后，需要說(shuō)明的一點(diǎn)是，初等數(shù)學(xué)或中等數(shù)學(xué)一般不討論數(shù)學(xué)的“存在性”問(wèn)題，一般只討論“求解”問(wèn)題.而學(xué)過(guò)《數(shù)學(xué)分析》的人都知道，“存在性”是數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題，若存在了，再討論是否唯一(即有多少個(gè))，然后才想辦法去求解.因此，高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的存在性沒(méi)有提及，只是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是已經(jīng)默認(rèn)了“任何數(shù)列，其通項(xiàng)公式是存在的”前提下，安排教學(xué)內(nèi)容的.

另外，給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，求該數(shù)列通項(xiàng)公式的例(習(xí))題，嚴(yán)密的敘述應(yīng)該是“求出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式”才是恰當(dāng)?shù)?