幾個圓錐曲線切線問題的統一性質

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(金陵高級中學 浙江長興 313100)

●蔡小雄

(杭州第十一中學 浙江杭州 310014)

圓錐曲線中的切線問題是近幾年競賽、高校自主招生考試的考查熱點之一，但教材中關于切線問題涉及較少.以下基于有心二次曲線的統一特征，對有關切線問題進行探討，以饗讀者.

1 有心二次曲線的統一特征

(1)定義相似:圓和橢圓、雙曲線的定義都可以圍繞動點到定點的距離展開.

(3)圖像的對稱性相似:圓和橢圓、雙曲線的圖像均為中心對稱和軸對稱圖形.

2 有心二次曲線切線問題的2個引理

證明設切點P(x0,y0)，切線斜率為kl，因為kl和kOP存在，則x0≠0且y0≠0.

當y>0時,曲線為

當y<0時，曲線為

同理可得

結論成立.

這一結論可用點差法直接證明，此處略.

3 有心二次曲線的切線性質及切點關系的推廣

基于上述有心二次曲線的統一特征及引理，不難得出如下結論：

這里給出統一證明，下面就不分類表述了.

證明當曲線的切線斜率kl和直線OP的斜率kOP存在時,由引理1可得

即

從而切線方程為

即

證明設A(x1,y1)，B(x2,y2),由性質1得切線PA,PB的方程分別為

顯然點P(x0,y0)為PA,PB的交點，從而

推論切線和鄰邊所成的角等于三角形其余2條邊所夾的角.

圖1

y-y0=k(x-x0)，

則直線AC的方程為

y-y0=-k(x-x0).

(n+mk2)x2+2km(y0-kx0)x+

同理可得

因此

從而kBC+kl=0.由kBC+kl=0及kAB+kAC=0可直接得出推論.

4 有心二次曲線上阿基米德三角形的推廣

由拋物線的弦和過弦的端點的2條切線所圍成的三角形常被稱作為阿基米德三角形.筆者將該三角形遷移到有心二次曲線上，不妨統稱為“阿基米德三角形”.于是有以下結論：

圖2

若曲線為橢圓或雙曲線，且直線AB過焦點F，則點F的軌跡為該曲線的相應準線.

若曲線為橢圓或雙曲線，且點P在該曲線的一條準線上，則直線AB過該曲線相應的焦點F.

化簡整理得 (qnx-pmy)x0+my-mnq=0.

圖3 圖4

又因為∠PFA和∠PFB均為銳角，所以∠PFA=∠PFB.

牛頓說：“每一個目標，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止.”筆者在有心二次曲線統一特征的基礎上，通過探究，得到了一系列美妙的切線性質，但這絕不是全部.我們有理由相信，隨著研究的深入會有更多、更美妙的規律與性質展現在我們面前，期待我們的“磚”能引來更多的“玉”，期待數學探究的魅力能給數學學習帶來更多的樂趣！