有關(guān)相似拋物線性質(zhì)的探究

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(德清縣第三中學(xué) 浙江德清 313201)

最近，筆者在翻閱文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們都對相似橢圓的性質(zhì)作了一些探究，得到了一些優(yōu)美的性質(zhì).著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.考慮到圓錐曲線之間往往有相似的性質(zhì)，文獻(xiàn)[1]、[2]中的性質(zhì)對雙曲線的情形都是成立的，受其啟發(fā)，筆者得到了有關(guān)相似拋物線的3組整齊而優(yōu)美的性質(zhì)，現(xiàn)將結(jié)論敘述如下：

性質(zhì)已知相似拋物線E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0)，p1

(1)A1B1∥A2B2,A1C1∥A2C2,B1C1∥B2C2,A1F1∥A2F2,B1F1∥B2F2,C1F1∥C2F2;

證明設(shè)直線l1：y=k1x，直線l2:y=k2x，則

所以kA1B1=kA2B2，即A1B1∥A2B2.

由于直線B1C1,B2C2分別是過點(diǎn)B1,B2的切線，故

得kB1C1=kB2C2，即B1C1∥B2C2,

同理可證

A1C1∥A2C2.

因?yàn)?/p>

所以kB1F1=kB2F2，即B1F1∥B2F2,

同理可證

A1F1∥A2F2.

由于A1B1∥A2B2,A1C1∥A2C2,B1C1∥B2C2,故△A1B1C1∽△A2B2C2，即

于是

所以

得

由于B1C1∥B2C2且B1F1∥B2F2，故

∠C1B1F1=∠C2B2F2，∠OF1B1=∠OF2B2,

△B1C1F1∽△B2C2F2,

得

∠C1F1B1=∠C2F2B2,

因此∠OF1C1= ∠OF1B1+∠C1F1B1=

∠OF2B2+∠C2F2B2=∠OF2C2，

得

C1F1∥C2F2.

綜合上述，A1B1∥A2B2,A1C1∥A2C2,B1C1∥B2C2,A1F1∥A2F2,B1F1∥B2F2,C1F1∥C2F2.

從而

再由B1F1∥B2F2,B1C1∥B2C2,C1F1∥C2F2，知△B1F1C1∽△B2F2C2，故

從而

同理可得

△A1F1C1∽△A2F2C2，

故

從而

同理可得

△A1F1B1∽△A2F2B2，

故

綜合上述,

(3)由第(2)小題知

評注利用斜率公式，通過直線之間的斜率相等來證明直線的平行，又利用相似三角形的性質(zhì)來證明線段和三角形面積的比例關(guān)系，體現(xiàn)了通性通法的思想.證明過程整齊劃一，給人以“一氣呵成”之感，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美和整齊美.

結(jié)束語筆者通過類比探究的數(shù)學(xué)思想方法，得到了一些整齊、優(yōu)美的性質(zhì)，體會到了數(shù)學(xué)結(jié)論的簡潔美和和諧美，有助于提高我們對數(shù)學(xué)結(jié)論的欣賞和鑒別能力，體會數(shù)學(xué)結(jié)論的整齊、漂亮，給人以一種美的享受.同時(shí)，通過上面的探究過程，有助于我們更加深刻地理解數(shù)學(xué)(初等數(shù)學(xué))，有助于提高教學(xué)科研意識.上述這種探究過程，正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話：沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化對答案的理解.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 姚源.相似橢圓系的若干性質(zhì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(10):48-49.

[2] 姜坤崇.相似橢圓性質(zhì)又探[J].數(shù)學(xué)通訊:下半月，2011(4):36-37.