將“游園活動”進行到“底”
——一則“操作活動型”數學綜合與實踐活動教學設計案例

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(浙江師范大學婺州外國語學校 浙江金華 321025)

“綜合與實踐”是《義務教育數學課程標準(2011年版)》的一個重要領域，其綜合性、活動性、趣味性等特點，對于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力具有重要作用[1].然而，由于教材中“綜合與實踐”的內容編排量較少，教師從內容選擇開始就感到無所適從；對綜合與實踐活動如何組織和實施，缺乏成功經驗的指導，容易流于形式[2]，“綜合與實踐”仍沒有發揮出其巨大的教育價值.這就需要我們積極探索“綜合與實踐”活動的組織形式和實施途徑，以開發出更多高質量的綜合與實踐活動案例.目前，已有一些學者、同行對此進行了探索，比如張奠宙等人從數學本質的維度把“綜合與實踐”的內容分為綜合應用型、操作活動型、數學欣賞型、數學文化型、數學素養型，并提供了一些的案例[3]，這有助于我們對綜合與實踐活動的類型作出合理的定位；義務教育數學課程標準修訂組則將綜合與實踐活動的教學環節設計成“選題—開題—做題—結題”的“微科研”過程，看似簡單明了，實則可操作性較低.臺灣地區的課程標準中也有和“綜合與實踐”相類似的領域“聯結”，其外部聯結具有“覺察—轉化—解題—溝通—評析”的開展流程，與“微科研”的操作流程相比，雖然內涵相差無幾，但可操作性更強.我們可以借鑒這一流程來開展綜合與實踐活動，本文也將在這一流程的指導下，開發出一則“操作活動型”的綜合與實踐活動教學設計案例.

1 教學背景

經過對筆者所任教2個班級的生的調查發現：幾乎所有學生都認為數學在現實生活中具有重要的作用，然而再進一步讓他們舉出數學應用于現實生活的具體事例，能舉出3個或3個以上的學生很少，且舉出的事例大多與商品價格計算等有關，視野比較狹窄；再讓他們試著解決一些綜合性的開放題目，能夠解出的學生更是寥寥無幾.這與學生的生活閱歷、知識儲備、知識的靈活應用等有很大的關系，在一定程度上說明了學生對數學應用的認識不夠深刻，也反映出以往我們的教學過于注重形式化的計算、推理，而忽略了對學生應用意識、問題解決能力的培養.基于這樣的調查結果，教師應試圖從教學內容的選擇、組織等方面改進教學，特別是在教學內容的選擇方面，要貼近學生的生活實際，有利于學生的體驗與理解、思考與探索.基于這樣的認識，恰逢筆者所在的學校剛剛舉行了游園活動，而筆者所任教的班級承辦了“定點射球”(站在0.5米寬的門框外指定的1.5米、3米、4.5米處，朝框內踢足球，射入分別得1,2,3分，射不進得0分，且只有在1.5米處射進才能有機會在3米處射，同樣只有前2次射進了，才能在4.5米處射)，筆者將這個游戲進行設計，以開發出綜合與實踐的教學設計案例.

2 教學過程

2.1 覺察

所謂的覺察就是能覺察或知道數學與生活、自然科學或社會科學等領域以及人類文化發展之間的聯系，相當于解決問題過程中的發現問題，當然這些被發現的問題是與數學相關聯的.

為了測量的方便，筆者將授課地點安排在操場.

活動環節1游戲——定點射球.將學生都集中在一起，讓提供這個游戲的學生A在操場上給大家布置游戲場所并描述游戲規則，要求其他學生認真觀看，并認真聆聽游戲規則.隨后教師隨機派2位學生協助學生A進行計分、統分，將其余學生分成6個小組，每個小組自行安排派2位代表參加比賽.當然比賽的結果是幾位參賽代表從比賽中得到了不同的分數.

活動環節2討論——幾位參賽的代表在比賽中得到了不同的分數，那是為什么呢？有的學生說是腳法等技術問題，還有的說是運氣，更多的說是因為在3米、4.5米處距離門框太遠較難將球踢進.

設計意圖通過學生親身經歷的游戲作為引入，一方面可以激發學生的學習興趣，激發他們的探究欲，另一方面使學生初步認識到數學與日常生活的聯系.

2.2 轉化

轉化就是把情境中的問題轉化為數學問題，并利用數學的語言、符號等將問題表征出來.

活動環節3探究——距離門框的距離越遠的確就越難將球踢進，那能否說與門框的距離遠近是能否將球踢進的決定性因素呢？學生們繼續進行激烈地探討，有的學生說是，有的學生說不是，也提出了腳法等技術性原因是決定性因素.

這時教師順著學生的思路作出說明：假如拋開所有人為因素，那么什么才是能否將球踢進的決定性因素呢？

學生們陷入了沉思，認為距離決定了射入球門的難度.教師繼續引導：那么請想一下，如果把門框的寬度變大或變小，大家覺得射入的難度會不會變化？學生進一步陷入沉思：有變化，門框變寬時，射入的可能性增大，變窄時射入的可能性減小.這時距離不是決定性因素了，那是什么呢？學生們緊接著喊出是門框的寬度，教師不急于作出回答，一些學生又想到門框的距離也是一個影響因素，緊接著大部分學生認為門框寬度和射球距離都是直接影響因素.

活動環節4操作——當學生已經想到門框寬度和射球距離可能是影響球能否射進的決定性因素時，我們可以將2個長度都測量出來，得到幾組數據分別為：1米、2米；1.5米、3米；4米、2米，那么又如何知道哪個射入難度大，哪個射入難度小呢？

學生們又陷入了沉思.教師建議大家不妨在紙上畫一畫，在射球位置不變而門框距離變化的情況下，發生了什么變化？學生很快得出答案，是射球位置與門框2個端點構成角的大小變化導致了射球成功率的高低.

設計意圖在師生交流的過程中，通過實物演示、圖形模擬等途徑，使學生自己通過探究獲得了射球位置與門框2個端點構成角的大小是射球成功率高低的決定性因素.

2.3 解題

解題就是綜合運用數學的知識與方法，得出問題的答案，或驗證猜想的正確與否.

活動環節5繼續操作——既然學生們都認為射球位置與門框2個端點構成角的大小變化是導致射球成功率高低的決定性因素，下面驗證推斷是否正確.以小組為單位解決以下2個問題，其中前3個小組求出在門框寬度為1米，射球點距離門框的距離分別為1米、2米、3米時，射球位置與門框2個端點構成角的大小；后3個小組測量射球點距離門框距離為2米，門框寬度分別為1米、2米、3米時，射球位置與門框2個端點構成角的大小.

各個小組很快就行動起來，他們首先按照要求將游戲場景呈現出來，然后利用米尺、細繩、量角器等工具進行測量，并將測得的數據記錄下來.比較數據發現：在門框寬度不變的情況下，射球點距離門框的距離越遠，所構成的角越小；在射球點距門框的距離不變的情況下，門框越寬，所構成的角越大.從而得出射球位置與門框2個端點構成的角越大時，越容易將球射進，反之，則越難.

設計意圖學生以小組為單位，通過實際動手操作，測量出各個角的大小，并通過比較，驗證了射球點與門框2個端點構成角的大小是射球成功率高低的決定性因素.

2.4 溝通

溝通是指與自己或他人溝通解答的過程及其合理性.

活動環節6回歸——(回到教室)在某些情況下，我們可能會缺少一些工具.假如說現在沒有大的量角器，但有小的量角器，甚至沒有量角器，上面的問題還能解決嗎？

在只有小的量角器的情形下，引導學生利用三角形全等和相似的相關知識，來驗證以上結論.在沒有量角器的情形下，引導學生利用三角形的角的關系來驗證以上結論.

圖1

在只有小的量角器的情形下，首先利用地圖比例尺讓學生了解地圖中任意3個點組成的三角形各邊如果按照比例尺等比例擴大就能代表三地實際的距離.類似地，真實的三角形按照一定的比例縮小可以畫到紙上，在這個變換下對應角不會發生變化；然后利用直角三角形的相關性質，將縮放后的三角形畫到紙上；最后量出所要測量的角(如圖1所示).在沒有量角器的情況下，根據上面的步驟將三角形畫出來，再根據三角形的一個外角等于不相鄰的2個內角之和等性質，比較各個角的大小.

設計意圖通過逐步弱化條件，增加了猜想驗證的途徑，使學生的思維不僅僅停留在操作實踐的層面，更向著抽象的方向發展.

2.5 評析

評析就是通過對覺察、轉化、解題、溝通等一系列環節的分析、評價與反思，找出解決問題過程中的優缺點，以優化解決問題的方法，并能促進學生情感方面的發展.

活動環節7整理——本節課共運用了幾種方法解決問題？這幾種方法有什么區別？大致分為(由學生一一展示或補充)：第1種方法應用在可以用大的量角器量角的情況下，可以直接通過測量進行；第2種方法是在只有小的量角器的情況下，利用三角形相似與全等，通過測量得出；第3種方法是在沒有量角器的情況下，利用三角形的內外角關系等比較出來的.讓學生各抒己見后，從限制條件出發，引導學生根據實際情況作出選擇.這些方法在不同的條件下使用，所用到的數學知識也不一樣.

活動環節8作業——PPT展示(游園活動中筆者所教的另一個班開展的活動)：跳球進筐，即在3米處放一個長方體紙盒，然后往里面投擲乒乓球，且乒乓球必須通過反彈，球進得分，球不進不得分.問將乒乓球投擲到哪個范圍時可以得分，這個范圍的面積多大？

設計意圖通過提問，引領學生對整節課進行反思.同時，通過作業布置，一方面考查學生對數學認識的變化，另一方面進一步鞏固與提高學生學習數學的興趣.

3 對教學設計的反思

此教學設計是在“覺察—轉化—解題—溝通—評析”的流程指導下開發出來的，表現出了邏輯清晰、可操作性強的特點.但是，這5個環節并不是簡單的線性關系，比如評析指標，具體要求如下：能用解題的結果闡釋原來的問題情境；能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題，能經常闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，并作必要的調整；能評析激發的優缺點.從這些要求中可以看出，評析指標包含了對覺察、轉化、解題和溝通的要求.而進一步分析其余指標，可以發現：后一指標包含了對前面的指標要求，這就要求在運用這一流程指導教學設計的每一個環節時，要考慮到利用其余環節的要求進行分析.這樣作既增加了解決問題的可能性，又降低了解決問題的難度.

在運用這一流程開發教學設計時，有2個問題需要特別注意：一是綜合性與實踐性如何體現？二是怎樣把握課堂上的熱鬧，而又避免“去數學化”的趨勢？對于第1個問題中的“綜合性”，筆者主要通過圖形與幾何領域的內綜合以及數學與游戲的外綜合來予以體現，涉及到了角度的測量、角度的大小比較、三角形全等與相似、三角形的畫法等知識點.至于“實踐性”，主要通過學生的角度測量、三角形的繪制等來實現.對于第2個問題，在游戲的場景中，在學生的動手實踐下，活躍的課堂氣氛自然不在話下，但是如何避免“去數學化”的趨勢，別把數學課變成簡單的操作課，筆者主要通過淡化條件、增加解決問題的難度予以處理.如果本節課在用大的量角器量角、比較角的大小的環節處結束，那么這節課充其量是一堂測量課，而不是一堂綜合與實踐活動課.考慮到授課的對象是初二學生，必須在原有的問題情境下，增加問題的難度，筆者發出了“如果沒有大的量角器，只有小的量角器，甚至沒有量角器，我們還能解決嗎”的追問，將問題的難度增加，學生也只有在運用更多的數學知識的前提下，才能將問題解決.

此外，還應該注意一個問題，學生在知識與技能方面的掌握與提高固然重要，但仍要注意學生在過程與方法、情感態度價值觀方面的發展，特別是在情感態度價值觀方面的發展，其重要性在一定程度上甚至超過了知識與技能的掌握與提高.

以此案例為例，學生在運用相關知識解決問題的過程中，能夠促進對這些知識與技能的鞏固與提高，但與復習課、習題課相比，效果并不理想.然而，在復習課與習題課上，學生很難認識到數學與日常生活的密切聯系，也很難靈活地綜合運用相關知識來解決實際生活中出現的問題.因此，本節課布置了2個課后作業：一方面讓學生通過反思，促進情感等方面的發展；另一方面是給學生進一步練習的機會.

當然這個案例，也存在一些缺陷，特別是利用地圖比例尺等提前滲透三角形相似，使初二學生知道“2個三角形相似，對應角相等，對應邊成比例”這一性質，這需要進一步的思考與改進.

參 考 文 獻

[1] 中國人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012:3-7.

[2] 許衛兵.綜合與實踐：課程改革的一次“撐桿跳”[J].福建教育，2013(4):48-49.

[3] 張奠宙,唐彩斌.例析“綜合與實踐”課程內容[J].福建教育，2013(6):42-44.