抓住特征類比探究

2014-08-09 03:08:34

中學教研(數學) 2014年4期

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(衢州市教育局教研室浙江衢州 324002)

●湯智翔

(衢州高級中學浙江衢州 324006)

數學教學是數學活動的教學.一節課中教師設計的數學活動，必須緊緊抓住所提數學問題的主要特征，并遵循從特殊到一般的認知規律，引導學生類比探究，只有這樣才能在課堂上點燃學生的“發現”之火、“探索”之火和“研究”之火，讓學生的數學思維充分展開，才能上出濃厚的數學味.

以人教版《數學(選修2-2)》第2章閱讀與思考“平面與空間中的余弦定理”的教學為例，考慮到“閱讀與思考”的課型特征，筆者設計了課前、課內和課后閱讀3個環節，并根據學生已掌握初步的類比思想方法的現狀，從平面內的一個簡單命題出發，循序漸進，通過類比探究，逐步得出空間四面體中的類似結論，使學生的數學思維得到一次高水平的訓練.據此，本節課的整個教學流程設計為：

本節課的落腳點放在提高學生的類比探究能力上.在2013年10月舉行的浙江省高中數學青年教師課堂教學評比中，按此流程設計的教學付諸課堂實踐后的結果表明：結論的再發現是在引導學生類比猜想再猜想的基礎上獲得的，學生的探究不僅僅是對已有知識的簡單應用，而是從平面到空間的類比探究，學生的思維始終處于“跳一跳就能夠摘到桃子”的狀態，學生的課堂注意力高度集中，興趣高昂，不斷品嘗成功的快樂，不斷提出具有較高思維含量的新的數學問題，把數學“冰冷的美麗”轉化成為“火熱的思考”，取得了非常好的教學效果.該設計的最大特色，是將“抓住特征類比探究”貫穿于整節課.筆者認為類比探究主要體現在如下5個方面：

1 利用數值特征引課

用具體的“勾三股四弦五”作為課題引入：

教學片斷1

師：如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，有52=42+32.我國古代稱短的直角邊為“勾”，長的直角邊為“股”，斜邊為“弦”.勾三股四弦五，是我國數學家最先發現的.

圖1 圖2

師：如圖2，過點A作直線AV⊥平面ABC，且AV=4，則∠VAB=∠VAC=∠BAC=90°.我們自然會想到的問題是：在直四面體V-ABC中，是否也有類似的數量關系存在？

師：想一想，圍成三角形的元素是什么？

生：3條邊.

師：那圍成直四面體的元素又是什么？

生：4個面.

師：邊有長度，面有面積，請同學們算一算4個面的面積.

生：在四面體V-ABC中，

師：根據計算結果，這4個面的面積之間是否存在著某種數量關系？

評注該設計從一個特定直角三角形3條邊的數值特征出發，啟發學生圍繞一個具體的“直四面體4個面的面積”之間的數值特征進行探究，為勾股定理的空間推廣作好鋪墊.

2 利用關系特征作初步推廣

教學片斷2

師：對于一般的直角三角形，3條邊之間存在平方關系a2=b2+c2，這是著名的勾股定理.在相應的直四面體中存在類似的關系嗎？

師:直角三角形的3條邊，對應于直四面體中的是什么？

生：4個面的面積.

師：直角三角形3條邊的平方關系，對應于直四面體中的是什么關系？

教師板書如表1所示：

表1 Rt△ABC與直四面體V-ABC的對應關系

師：我們可稱它為“直四面體的勾股定理”：在直四面體中,各個側面積平方和等于其底面積的平方.這是勾股定理從二維空間到三維空間的推廣.

生：類比的方法.

評注由平面內直角三角形的平方關系(勾股定理)，類比得到空間直四面體4個面的面積猜想，為進一步推出空間余弦定理埋下了伏筆.

3 利用圖形特征作一般化推廣

教學片斷3

師：任意三角形在空間中對應的是任意的空間四面體.

師：如圖3，在任意△ABC中有余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA.類比平面三角形的余弦定理，在空間四面體V-BCD(如圖4)中存在什么樣的結論呢？這是今天這節課我們要學習的.

教師出示課題：閱讀與思考——平面與空間中的余弦定理．

圖3 圖4

探究類比三角形中的余弦定理，猜想空間四面體中的相應結論.

師生活動：完成以下表2.

表2 △ABC與四面體V-BCD的對應關系

師：在余弦定理中，是用2邊及其夾角的余弦值來表示第3邊的，類比到四面體中，能否用3個面的面積及其二面角的余弦表示第4個面的面積？

教師引導學生進行思考、猜想、相互討論等活動，討論后展示學生的猜想.

如圖4，在四面體V-BCD中,不妨設二面角V-BC-D,V-CD-B,V-BD-C,C-VB-D,B-VC-D,B-VD-C的平面角依次為α1,α2,α3,β1,β2,β3.

師：根據圖形特征，三角形中“夾角”是第3邊的對應角，那四面體中第4個面的對應“角”是什么？

生：是二面角，3個二面角.

2S△VBCS△VCDcosβ2+2S△VCDS△VBDcosβ3+2S△VBCS△VBDcosβ1.

2S△VBCS△VCDcosβ2-2S△VCDS△VBDcosβ3-2S△VBCS△VBDcosβ1.

……

評注抓住三角形余弦定理相應的圖形特征,引導學生作一般化推廣，將“數”與“形”有機結合,直觀地類比到四面體中，獲得一系列的猜想，通過提示“再發現”了空間中的余弦定理.

4 利用命題特征排除錯誤猜想

教學片斷4

師：這些猜想是否都正確？我們還要進行驗證.

由于猜想要對任意的四面體都成立，能不能找到一個最特殊的四面體進行驗證？

生：正四面體.

(驗證過程略.)

圖5

師：也可以用一種“極端”的方法：檢驗猜想.

師：如圖5，將正四面體V-BCD壓成平面圖形△BCD，即點V與△BCD中心O重合，此時α1,α2,α3的大小都為π.

(驗證過程略.)

評注根據結論是“一般性問題”的命題特征，通過特殊化、極端化，順利排除了錯誤猜想.特別值得一提的精彩之處是：學生僅僅利用正四面體這個特殊的圖形，就排除了錯誤的猜想，而教師又恰到好處地介紹了用圖形的極端位置排除了錯誤的方法，為正確結論的獲得鋪平了道路.

5 利用結構特征記憶推廣公式

證明了猜想5即四面體的余弦定理正確后，利用其結構特征記憶這個公式，也就是順理成章、水到渠成的事了.

教學片斷5

師：先回憶余弦定理的文字描述，再類比給出四面體余弦定理的文字描述.

生1：三角形中任何一邊的平方，等于其他2邊的平方和，減去這2邊與它們夾角余弦積的2倍.

生2：四面體中任何一個面的面積平方，等于其他3個面的面積的平方和，再減去每2個面的面積與它們二面角余弦積的2倍.

生3：四面體中任何一個面的面積平方，等于其他3個面的面積平方和減去這3個面中每2個面的面積與它們二面角余弦積的2倍.

評注引導學生類比平面余弦定理的結構特征，得出空間余弦定理的結構特征，有助于空間余弦公式的理解和記憶.

從長遠來看，這種抓住問題特征進行類比探究的教學一定是高效的，這也是數學研究的基本方法之一.因為只有對數學問題進行充分地觀察、分析、假設、聯想、類比、推理、綜合等思考，才能抓住問題特征，才能讓學生對問題的解決途徑有一個初步正確的判斷，這直接關系到數學問題解決的成敗和學生基本活動經驗的獲得.對于培養學生類比推理的思維習慣和數學再發現的探究能力，促進和推動學生高中數學學習效能的提升也起到重要的作用.

參考文獻

[1] 曹才翰,章建躍.中學數學教學概論[M].北京:北京師范大學出版社，2008.

[2] 張金良.浙江省高中數學新課程改革的實踐與思考[J].中學教研(數學)，2012(9):1-7.

[3] 李世杰，李盛.平面區域的對稱性[J].中學教研(數學)，2013(1):26-30.