對一道課本習題的研究

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(彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

前蘇聯數學教育家奧加涅相說過：“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”中學數學教材中的習題凝聚了專家、學者的集體智慧和結晶，研究這些習題，充分挖掘其內在功能的教育教學價值是一線教師責無旁貸的任務.通過研究習題可以提高學生的數學解題能力，發展學生的數學思維能力，培養良好的數學興趣，從而提高數學教學質量.

1 試題的呈現及解答

題目正方形ABCD的邊長為1，P,Q分別為AB,DA上的點，當△APQ的周長為2時，求∠PCQ的大小.

(人教A版數學必修4第147頁習題)

圖1

解法1(綜合幾何法)如圖1，將正方形ABCD繞點C順時針旋轉90°,使邊CB與CD重合，則點P與點G重合，點Q與點H重合，于是CP=CG，BP=DG，∠PCG=90°.又△APQ的周長為2，正方形ABCD的邊長為1，于是PQ=BP+QD=QG,從而△CPQ≌△CGQ，因此

圖2 圖3

解法2(三角法)如圖2，設BP,DQ的長分別為a，b,∠BCP=α,∠DCQ=β.由已知得AP,AQ的長分別為1-a，1-b，PQ的長為a+b.由勾股定理得

(a+b)2=(1-a)2+(1-b)2，

即

a+b=1-ab,

又tanα=a,tanβ=b，于是

由0°<α+β<90°，得α+β=45°，故∠PCQ=45°.

解法3(坐標法)建立如圖3所示的直角坐標系，聯結AC,作QE⊥AC,垂足為點E.設P(a,0),Q(0,b),由已知得C(1,1),B(1,0),D(0,1),直線AC:y=x，由點到直線的距離公式得

由勾股定理得

PQ=2-(a+b)，

所以

即

ab+2=2(a+b)，

亦即

從而

于是Rt△CBP∽Rt△CEQ.可知∠BCP=∠ECQ,故∠PCQ=∠ACB=45°.

2 試題的一般性結論

注意到題目的已知條件：△APQ的周長恰好是正方形邊長的2倍，從而可得一般性的結論.

結論1在正方形ABCD中，若點P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長是正方形邊長的2倍，則∠PCQ=45°.

用上面的方法易證明結論成立，此處略.

筆者嘗試用上述解法來考查結論的逆命題，發現也是一個真命題，于是便有如下的結論.

結論2在正方形ABCD中，若點P,Q分別在邊AB,AD上，若∠PCQ=45°，則△APQ的周長是正方形邊長的2倍.

3 試題的拓展研究

著名數學教育家波利亞說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與研究，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”他打比方說：“在你找到第一個蘑菇(或作出第一個發現)后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的.”我們從面積的視角出發研究試題的一般性結論，可得如下的幾個結論.

結論3在正方形ABCD中，若點P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長是正方形邊長的2倍，則點C到線段PQ的距離CH等于正方形的邊長.

圖4

2m2-m(a+b).

由已知條件知

PQ=2m-(a+b)，

又由結論1知，∠PCQ=45°，于是

從而

由三角形面積公式得

即

PQ·CH=mPQ，

故CH=m.

由結論1和結論3易得如下2個結論.

結論4在正方形ABCD中，若點P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長是正方形邊長的2倍，則SABCD∶S△CPQ=2AB∶PQ.

結論5在正方形ABCD中，若點P,Q分別在邊AB,AD上，△APQ的周長是正方形邊長的2倍，則S△CPB+S△CDQ=S△CPQ.

如果聯結正方形的對角線BD，BD截△CPQ的2邊分出了一個小三角形，那么這個小三角形的面積與原△CPQ的面積有怎樣的關系呢？經過嘗試研究得如下的結論.

結論6在正方形ABCD中，從頂點C引2條射線分別交AB,AD于點P,Q，若∠PCQ=45°，對角線BD交CP于點E，交CQ于點F，則S△CPQ=2S△CEF.

圖5

證明如圖5，設正方形ABCD的邊長為m，BP=a，DQ=b，則

AP=m-a,AQ=m-b.

因為∠PCQ=45°，所以由結論2知

AQ+AP+PQ=2m，

得

PQ=a+b.

由勾股定理得

(a+b)2=(m-a)2+(m-b)2，

化簡得ab+ma+mb=m2.

(1)

又BD為正方形ABCD的對角線，由角平分線的性質得

即

從而

得

同理可得

因此

將式(1)代入約分得

即

S△CPQ=2S△CEF.

圖6

結論7如圖6，在正方形ABCD中，若點P，Q分別在邊AB，AD上，∠PCQ=45°，過點P，Q分別作邊CD,BC的垂線，垂足為E,F,線段PE和QF相交于點H，則SAPHQ=2SFHEC.

證明設正方形ABCD的邊長為m，BP=a，DQ=b，由結論6的證明可知

ab=m2-ma-mb,

從而SAPHQ=AP·AQ=(m-a)(m-b)=

m2-am-bm+ab=2ab,

又SFHEC=BP·DQ=ab，于是SAPHQ=2SFHEC.

4 結束語

正如數學家希爾伯特所說：“好問題就像一只會下金蛋的雞.”筆者從一道樸實無華的課本習題出發進行研究，挖掘試題的本質特征“△APQ的周長是正方形邊長的2倍”，從而延伸拓展得到了一些優美的新結論.在教學中經常“研題”，有助于促進教師專業知識的發展，提高課堂教學的有效性.