不畏浮云遮望眼 只緣身在最高層
——淺議三角函數(shù)教學(xué)中的“反隱形”策略

●

(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)

張景中院士曾指出：在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角的內(nèi)容至關(guān)重要.三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁，是溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一條通道.函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要的數(shù)學(xué)知識與三角有關(guān)，大量的實(shí)際問題的解決要用到三角知識.因此，雖然三角函數(shù)屬于經(jīng)典數(shù)學(xué)的范疇，但仍值得教師細(xì)細(xì)品味.

三角函數(shù)題型中經(jīng)常涉及到隱藏的角度范圍和隱藏的角度關(guān)系，忽視了這些“隱形”條件，就會出現(xiàn)漏解、增解、錯解的現(xiàn)象.因此，如何去突破這些表面的“堅(jiān)冰”就顯得尤其重要.下面筆者就三角函數(shù)條件“隱形化”的主要形式和教學(xué)策略與同行共同探討.

1 三角函數(shù)條件“隱形化”的主要形式

孫子兵法有云：知己知彼，百戰(zhàn)不殆.只有了解對手你才可能戰(zhàn)勝他，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣.在具體解題的過程中，很多學(xué)生由于對“隱形”條件的了解和挖掘不夠、經(jīng)驗(yàn)不足，從而使解題活動陷入困頓，或?qū)е陆忸}失誤，或?qū)е滤悸愤^于復(fù)雜.那么，三角函數(shù)中潛藏的“隱形”條件，到底隱在何處呢？首先得了解三角函數(shù)題中“隱形”條件的主要存在形式.從大方向歸納，筆者認(rèn)為主要有2類：一是角度范圍的“隱形”；二是角度關(guān)系的“隱形”.以下根據(jù)幾個典型例題來具體說明.

1.1 角度范圍的“隱形”

從而 cosβ= cos[(α+β)-α]=

cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=

錯解tanα= tan[(α-β)+β]=

從而

于是

因?yàn)棣?β∈(0,π),所以

2α-β∈(-π,2π),

1.2 角度關(guān)系的“隱形”

點(diǎn)評第(1)小題學(xué)生往往把2個正弦值展開，計(jì)算量相當(dāng)大，容易導(dǎo)致錯誤.若能發(fā)現(xiàn)2個角度之間的關(guān)系，即

利用誘導(dǎo)公式可得

進(jìn)而可推得

計(jì)算就變得相對便捷，從而

再利用倍角公式求得

代入可得

例5已知A,B是鈍角三角形的2個銳角，則點(diǎn)P(sinA-cosB,cosA-sinB)是第幾象限的點(diǎn)?

由A,B為銳角可得

從而

再把已知條件換個方向得

從而

故可得點(diǎn)P是第二象限的點(diǎn).

點(diǎn)評第(1)小題可化為

第(2)小題中學(xué)生易造成如下誤解：

u2=sin2ycos2x=(1-cos2y)·cos2x，

代入原式可得

2 三角函數(shù)條件“反隱形”的教學(xué)策略

作為西方現(xiàn)代科學(xué)和哲學(xué)奠基人的笛卡爾主張對每一件事情進(jìn)行懷疑，去審視知識內(nèi)部的缺陷，這種“回頭審視”的“笛卡爾式懷疑”非常值得我們學(xué)習(xí).從上述的分析中可以看出，三角函數(shù)中的“隱形”條件往往若明若暗，含而不露，學(xué)生必須深入挖掘、仔細(xì)思考才能讓“隱形”條件“浮出水面”.這就要求學(xué)生首先得具備笛卡爾式的懷疑精神,另外還得掌握有效的訓(xùn)練方法.在三角函數(shù)解題過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題目的真正運(yùn)算過程往往比較簡單，難點(diǎn)在于如何去掌握所有解題的必需條件，因?yàn)榇蟛糠值膯栴}往往不是給出全部條件，經(jīng)常隱藏著一些間接條件.在解決問題時，容易把一些知識和經(jīng)驗(yàn)固化，作為思考解決其他問題的基礎(chǔ).這樣的做法往往會產(chǎn)生漏洞，從而導(dǎo)致錯誤的發(fā)生.以下是筆者對提高學(xué)生三角函數(shù)“反隱形”能力的幾點(diǎn)教學(xué)建議.

2.1 熟記三角函數(shù)特值,培養(yǎng)角度敏感程度

在三角函數(shù)章節(jié)中，學(xué)生需要記憶大量的公式，其中熟記各種特殊角的三角函數(shù)值是基礎(chǔ)性的工作，如30°,45°,60°的正余弦、正切值，可引導(dǎo)學(xué)生理解性記憶，防止死記硬背，可放在直角三角形中體會邊長關(guān)系或者結(jié)合三角函數(shù)定義來記憶.如果可能的話，可以進(jìn)一步要求學(xué)生熟記120°,135°,150°等特殊角的三角函數(shù)值，這樣對提高角度敏感度和計(jì)算精度相當(dāng)有幫助.

2.2 關(guān)注條件結(jié)構(gòu)特征,提高角度變換能力

三角函數(shù)題型中往往很多都涉及到角度的靈活變換，而且很多變換都是潛藏在題目的已知和結(jié)論中，如何才能有效地提高變換能力？這就要求我們首先得積累常見的角度變換經(jīng)驗(yàn)，比如關(guān)于拆并角的變換：

也可以根據(jù)具體角和抽象角進(jìn)行變換，如：

積累常見經(jīng)驗(yàn)，提高變換意識，就能發(fā)現(xiàn)題目中“隱形”的角度關(guān)系.

2.3 立足課堂多維訓(xùn)練,改善思維靈活程度

多維思維指的是在思維的總進(jìn)程中由多個思維指向、多個思維起點(diǎn)、多個邏輯規(guī)則、多個評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、多個思維結(jié)論組成的多渠道邏輯線索的思維模式.課堂多維訓(xùn)練正是基于此思想開展的訓(xùn)練，主要特點(diǎn)是變通，不拘泥常規(guī)，善于開拓、變異.主要采用一題多問和一題多變形式，對學(xué)生鞏固和掌握知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，開闊知識視野，提高分析、探索能力大有裨益.三角函數(shù)章節(jié)中開展多維思維訓(xùn)練，可以提高學(xué)生對條件的“反隱形”能力，達(dá)到改善思維縝密程度的目的.

分析可以開展這樣的課堂訓(xùn)練：首先訓(xùn)練一題多問多解.由條件平方可得

即

讓學(xué)生體會到小題解法的輕靈飄逸.

從而

即

故

或者也可化為齊次方程

3 結(jié)束語

在學(xué)習(xí)的過程中，每一個重大隱性條件的發(fā)現(xiàn)和明朗化都意味著思維的巨大進(jìn)步.如果教師在平時的教學(xué)中能夠做個有心人，采用合理的課堂教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注、挖掘題目中的潛在條件和關(guān)系，確實(shí)提高自己審題、解題的“反隱形”能力，必然能讓學(xué)生的思維靈活度和縝密度得到很大的提升.正所謂“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”.