平面向量復習要強化“5種意識”的培養

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(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

作者簡介盧明，1999年至今任海鹽元濟高級中學校長，現任浙江省中學數學教育學會理事、浙江省中小學信息技術教育學會理事、嘉興市數學學會副理事長、嘉興市教育學會理事、嘉興市中小學信息技術教育學會理事、海鹽縣教育學會副會長.浙江省特級教師，省首批中小學正高級教師、浙派教育家發展共同體成員、省“5522”中小學名校長培養人選、嘉興市首批中小學名校長、省“第16屆春蠶獎”獲得者、省勞動模范、嘉興市新世紀專業技術帶頭人，連續4屆被評為海鹽縣有突出貢獻的專業技術人才、海鹽縣首批功勛教師.

主要社會兼職有：教育部中小學教師“國培計劃”專家庫成員、華東師范大學教研員研修中心特聘講座教授、浙江省基礎教育研究中心特聘教授、湖州師范學院客座教授、浙江省普通高中新課程實驗工作專業指導委員會專家組成員、山東和海南省中小學教師新課程遠程研修項目團隊特聘專家、中國西部地區教育顧問.

主要科研成果有：近10年中，主持過3項省級規劃課題、2項省級專項課題、4項嘉興市級規劃課題的研究，成果分別獲得省級一、二、三等獎和嘉興市一、二等獎，公開發表論文40多篇，曾承擔國家級、省級、市級學術報告(講座)100多場.

平面向量是高中數學的重要內容，也是高考的熱點之一．平面向量作為一塊獨立的內容，有其自身的知識體系和獨特的思想方法．它有別于代數、幾何和三角，但又與它們有著緊密的聯系．鑒于平面向量內容的上述特點，許多學生到了高三對向量學習尚未入門，沒有形成“向量思想”，遇到較靈活的題不知所措，思維沒有方向，錯誤率較高．高三平面向量復習如何解決以上問題，是困擾教師的一大難題．

筆者連續帶了6屆高三畢業生，結合自己對向量題目的解題規律研究，摸索出了一套從培養學生的“5種意識”入手，幫助學生形成“向量思想”，突破向量問題的解題困境，收到了良好的效果．現撰文與大家分享，以求共同探討．

1 “投影”意識

所謂“投影”意識，就是能自覺運用向量的“投影”來解決實際問題的一種思維方式．其實，它是對向量數量積本質的理解和把握．向量的數量積是向量知識中非常重要的核心知識，但許多學生對它的掌握往往只停留在膚淺運用的層面，只會機械地套用公式、計算2個向量的數量積和求2個向量的夾角(或夾角的三角函數值)，缺乏對公式中隱含的“本質信息”——向量“投影”的意義和價值的認識．要想讓學生較深刻地理解和把握向量數量積的概念，必須強調對向量“投影”概念的理解與應用．如：(1)讓學生結合數量積公式，說出b在a方向上的投影如何表示？(2)結合圖形，正確作出b在a方向上的投影；(3)通過直觀圖形，理解b在a方向上的“投影”|b|cos是一個數值，且可以為正數、0或負數，“投影”的符號取決于a與b夾角的大小，然后通過典型例題，進一步強化“投影”思想在解決實際問題中的運用．

圖1

向量的“投影”思想在高考命題中也頗受關注．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數學高考理科試題)

本題解法較多，然而運用“投影思想”和“排除法”，解題過程簡潔且通俗易懂．

圖2 圖3 圖4

若∠BAC=90°，設P為AB的中點，則P0是PB的中點(如圖3)，于是

綜上所述，選項D正確．

2 “幾何”意識

所謂“幾何”意識，是指能主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題的一種思維方式．這種解題方法稱之為“幾何法”．我們知道，向量不僅擁有數的特性，還有形的特性，如向量的加法、減法符合平行四邊形法則和三角形法則；再如，若|a|=2，則向量a的幾何背景可以與圓建立聯系，等等．如果能將向量問題置于適當的幾何背景之中，就能夠使抽象問題直觀化，實現快速解題之目的．縱觀歷年浙江省平面向量高考試題的命題風格，幾乎每道題都有一定的幾何背景，這種命題風格充分體現了對向量本質和數形結合思想的考查，突出了對考生思維靈活性和空間想象能力的檢測．因此在復習時，一方面要啟發學生主動挖掘向量的幾何背景，另一方面要讓學生注意總結向量問題中常用的一些幾何圖形和幾何元素．筆者認為，向量問題中常用的幾何圖形主要有平行四邊形、三角形和圓；常用的幾何元素主要有平行四邊形的對角線，三角形的邊、中線、外心、重心、垂心，圓的半徑、圓周角、圓心角等．

例3已知a,b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則c的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題)

解由(a-c)·(b-c)=0知向量(a-c)⊥(b-c)，故可聯想到直徑上的圓周角．構造圓O，使向量a-c和b-c的夾角恰為直徑上的圓周角(如圖5)．

由a⊥b得AB為直徑，故

(a-c)⊥(b-c)，

圖5 圖6

例4若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數學高考理科試題)

分析注意挖掘|a+b|=|b|的“幾何背景”，將它們看作是一個圓的2條半徑．

圖7 圖8

綜上所述，選項C正確．

點評以上解法，通過挖掘向量的幾何背景，利用數形結合的方法，對一些幾何元素進行分析，避免了復雜的運算過程，既直觀又形象，達到了事半功倍的效果．在構造幾何圖形的過程中，充分發揮了學生的空間想象力，促進了數學思想的形成．

3 “坐標”意識

所謂“坐標”意識，是指通過構建直角坐標系，將向量改用坐標來表示，使向量問題轉化為代數問題來處理的一種思維方式．這種解題方法稱之為“坐標法”．“坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑，其優點是思維方式比較“固定”，學生容易掌握，關鍵是合理建立直角坐標系，準確算出關鍵點的坐標．為強化學生的“坐標”意識，可以經常提醒學生，當用別的方法難以奏效時，不妨用“坐標法”來嘗試一下．

例5已知向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2，且(a-c)·(b-2c)=0，則|b-c|的最大值為______．

(a-c)· (b-2c)=

顯然，當C運動到點B與點M之間，且點B,C,M共線時，

圖9 圖10

于是

從而

1≤x+y≤2．

點評教師要提醒學生：在構建坐標系時，2個坐標軸不一定要處于“標準”位置．對于可變向量c的坐標的設法可以有不同的形式，如例5采用的是“實數式”，變式采用的是“參數”(θ為參數)，目標都是為了構造熟悉的問題情境，從而方便后面的計算，實現解題策略的優化．

如果將變式中的“求x+y的最值”改為“求x+3y的最值”，請讀者嘗試解答一下，進一步體會“坐標法”的優勢．

4 “點積”意識

所謂“點積”意識，就是在一個含有向量關系的等式2邊同時“點積”一個適當的非零向量，把向量關系的等式轉化為代數方程，實現化簡之目的的一種思維方式．用到的知識點還是向量的數量積，問題的關鍵是要斟酌“點積”一個什么向量容易達成化簡目的．“點積”也包括對含有向量關系的等式2邊同時進行平方，下面結合實例進行說明．

解三角形的外心是3條邊中垂線的交點．設D,E分別為AB,AC的中點(如圖11)，則

128x+100y=4(32x+25y)=100,

圖11 圖12

(2007年陜西省數學高考理科試題)

即

5 “基底”意識

所謂“基底”意識，是指有預見性地選擇適當的“基底”，并用“基底”來表示有關向量，以實現化歸的一種思維方式．“基底”意識的本質是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選擇“基底”有利于簡化運算．下面結合實例加以說明．

圖13

又點A,P,N共線，同理

由式(1)，(2)得

故

CP∶PM=4∶1．

又點A,P,N共線，于是

由式(3)，(4)得

故

CP∶PM=4∶1．

點評由例8的2種解法不難發現，“基底”選的是否恰當直接影響解題過程的簡潔性．2種解法中多處涉及到了3個點共線時如何選擇“基底”．要使學生能夠具備有預見性地選擇“基底”的能力，需要平時有意識地加強培養，幫助學生積累經驗．

圖14

故點A，P，D共線．

再由“中線向量”模型得

點評例9的解答2次用到了三角形“中線向量”模型．

總之，平面向量復習強調關注學生“5種意識”的培養，其目的就是幫助學生解決向量學習的入門問題，即“授之以漁”．有了這“5種意識”，學生就能形成“向量思想”，能夠在解決實際問題時迅速找到思維的突破口，形成有效的思維成果．需要指出的是，這“5種意識”對應著5種不同的解題方法，每一種方法都有其優勢和局限性．不同的問題需要用不同的方法，盡管有的問題可以用多種方法去解決，但是仔細考量后不難發現：不同的方法其解題過程的復雜程度差異較大．

數學學習追求的不僅僅是把題做“對”，更看重的是要把題做“好”，即追求解題策略的“最優化”．為此，只讓學生擁有這“5種意識”還不夠，還要在面對具體問題時能夠迅速作出判斷，選擇“最優化”解題策略．這是一種學習境界，要達到這樣的境界，需要伴隨豐富的學習經歷和經驗的積累，而不是簡單的模仿操練．以筆者之見，知識不是教師教會的，而是學生自己學會的，學習應該是學生親力親為的事，別人無法替代．基于這樣的認識，筆者在向量復習時非常重視學生學習經歷的設計，精心組織課程資源，積極創造條件讓學生多嘗試、多交流，鼓勵學生一題多解，在各種不同的解法中讓學生自己去比較、體會、發現規律，積累經驗，從而提升能力．