例談用波利亞“怎樣解題”的提示語解高考題*
——以重慶市2013年理科第22題為例

楊孝斌，羅永超

(凱里學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州凱里556011)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在他的《怎樣解題》一書中，首先給出了著名的“怎樣解題表”.在怎樣解題表中，波利亞指出，首先“你必須理解題目”.并給出了幫助解題者理解題目的幾個基本問題：未知量是什么?已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?理解題意是解題的最重要的環(huán)節(jié).波利亞曾多次指出“理解了題意，相當(dāng)于解決了問題的一半”，“理解了題意，往往能直接找到問題的解法”.理解題意的提示語中最常用的也是最關(guān)鍵的提示語主要有“它是什么”、“它有什么性質(zhì)”、“它能如何表示”.這里的它，涵蓋了題目中的所有對象，包括每一個已知量，每一個未知量，每一個式子，式子中的每一個符號，每一個符號的上標(biāo)、下標(biāo)，每一個圖形，圖形中的每一個元素等等.理解了題目中的所有的“它”，弄清了每一個“它”的性質(zhì)，并找出這些所有的“它”之間的相互關(guān)系，就理解了問題，走出成功解決問題的第一步.

除了理解題意的提示語之外，“盯住目標(biāo)”、“回到定義去”、“你以前見過它嗎”、“有什么方法可以利用”，等等諸如此類的，是解題常用的提示語，以下把這些提示語統(tǒng)稱為“怎樣解題”的提示語.下面我們嘗試用“怎樣解題”的提示語來解重慶市2013年高考數(shù)學(xué)的第22題，此題是試卷的最后一題，即所謂的“壓軸題”.

真題回放(重慶市2013年理科第22題)：對正整 數(shù) n，記In= {1，2，…，n}，Pn=.試求：(I)求集合P7中元素的個數(shù)；(Ⅱ)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”.求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并.

此題新穎有創(chuàng)意，與以往壓軸題的命題風(fēng)格完全不同，題目有較大的開放度和靈活性，重點考查學(xué)生靈活運用分類討論、反證法、構(gòu)造法等幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，是一道以能力立意的好題目.該題雖有一定的難度，但所涉及的主要是一些基本概念、基本知識和常用的數(shù)學(xué)思想方法，同時考察學(xué)生對“新定義”的理解.下面我們嘗試用“怎樣解題”的提示語來分析并解決此題.

問題(I)：盯住目標(biāo)!求什么?集合P7中元素的個數(shù).

如此看來，問題(I)關(guān)鍵在于對Pn的理解，如果讀不懂題，看不懂這個集合中的元素構(gòu)成，實在是難以入手.同時，運用觀察法對特殊值的考察也是考點之一.此外，對Pn的理解也直接影響到問題(Ⅱ)的解決，這充分說明了理解題意的重要性.

問題(Ⅱ)：盯住目標(biāo)!求什么?求n的最大值.

n的最大值與誰有關(guān)?要滿足什么條件?使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并.分成兩個不相交的集合的并，是什么意思?Pn=A∪B，且A∩B=φ.對A與B還有什么要求?A與B是稀疏集.稀疏集是什么?這個概念以前從未見過，題目里面是如何定義的?若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為稀疏集.也就是說，這里定義的稀疏集是Pn的子集，并且滿足這個子集中的“任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方”.

接下來怎么辦?考慮什么?根據(jù)問題(I)的解答，考慮Pn的元素構(gòu)成.很容易看出In?Pn，而Pn=A∪B，且A∩B=φ，同時要求A與B是稀疏集，也就是集合A與B均要滿足“其中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方”.這里提到In，In是什么?In中的元素有什么特點?根據(jù)條件In={1，2，…，n}，In中的元素就是前n個正整數(shù).

現(xiàn)在怎么辦?從哪里入手?從最簡單的情形入手，由于In?Pn=A∪B，不妨試試從前n個正整數(shù)入手.不妨設(shè)1∈A，因為1+3=22，故3?A，于是3∈B，同理6∈A，10∈B，于是有15∈A，但是1+15=42，這與A為稀疏集矛盾.

這個結(jié)論說明了什么?當(dāng)n≥15時，由于{1，2，3，…，15}中的元素不能全部放在兩個稀疏集中，故In中的元素不能全部放在兩個稀疏集中，因而Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并，因此n最大不超過14.

下面考慮n=14的情形.當(dāng)n=14時，有.

這樣就可以了嗎?問題到這里，到底想干什么?目標(biāo)是什么?現(xiàn)在要考慮的問題是P14能否分成兩個不相交的稀疏集的并?也就是尋找稀疏集A與B，滿足P14=A∪B，且A∩B=φ.現(xiàn)在我們該怎么辦?從哪里入手?仍然從簡單的情形入手，首先考慮P14中的整數(shù)，其次是P14中的兩個數(shù)的和為整數(shù)的情形，我們已經(jīng)將P14進(jìn)行了上述分解.此時我們要重點關(guān)注那些使為整數(shù)或分?jǐn)?shù)的k的值，也就是k=1，4，9的時候的情形.因為如果k≠1，4，9，且k∈{1，2，…，14}，很顯然有均為無理數(shù)，且這些元素與P14中的其它任何數(shù)之和都不是整數(shù).

接下來我們該怎么辦?分情況討論.下面分四種情況討論并最終解決問題.

即I14)，剩下的元素組成的集合記為 S′4=，根據(jù)稀疏集的要求，可令，則A2，B2均為稀疏集，且A2∪B2=S′4.③同理，當(dāng)k=9時，，去掉其中為整數(shù)的那些數(shù)(因為它們都屬于S1即I14)，剩下的元素組成的集合記為，根據(jù)稀疏集的要求，可令，則A3，B3均為稀疏集，且 A3∪B3=S′9.④當(dāng)k≠1，4，9，且k∈{1，2，…，14} 時，令.因此，集合C中的元素均為無理數(shù)，且這些元素與P14中的其它任何數(shù)之和都不是整數(shù).

綜上所述，令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，根據(jù)上面的構(gòu)造過程知，A與B均為稀疏集，并且滿足P14=A∪B，A∩B=φ.因此，當(dāng)n=14時，有P14能分成兩個不相交的稀疏集的并.所以，n的最大值為14.

以上是利用波利亞“怎樣解題”的提示語解數(shù)學(xué)題的一個實例，從上述過程可以看出，利用“怎樣解題”的提示語解數(shù)學(xué)題，可以幫助學(xué)生弄清問題中的各個元素，從目標(biāo)入手，找到已知量、未知量之間的聯(lián)系，逐步深入問題的核心，從而解決數(shù)學(xué)問題.這些提示語，看似平淡無奇，但由于它們均是從問題中基本元素的定義和性質(zhì)出發(fā)，層層深入、步步逼近問題的核心.因此，這些提示語在解題中的成功運用，往往能幫助學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，在解題過程中化繁為簡、化難為易.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以嘗試用“怎樣解題”的提示語開展教學(xué)，利用這些提示語幫助學(xué)生理解題意、弄清問題、找到問題的解決辦法.學(xué)生在教師的示范和引導(dǎo)之下，能夠?qū)W會用“怎樣解題”的提示語解數(shù)學(xué)題，并將其逐步內(nèi)化，最終發(fā)展成為自己的解題提示語.

［1］(美)G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，等譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

［2］楊孝斌.數(shù)學(xué)教學(xué)思維導(dǎo)向的研究［M］.成都：四川大學(xué)出版社，2010.