關于一個p(x)-Laplace方程的L∞估計*

牟曉麗

(吉林師范大學數學學院，吉林四平136000)

1 問題的介紹

本文研究如下p(x)-Laplace方程的L∞估計

這里，Ω是RN中的有界單連通區域，其邊界?Ω光滑.記

我們假設1＜p-≤p+＜∞.另外，假定可測函數p(·)：Ω →R滿足 log-Holder連續性條件［1］.即存在常數C＞0，使得

在變指數 Sobolev空間的研究中，這種 log-Holder連續性條件保證了(Ω)在 空 間W1，p(x)(Ω) 中的稠密性［1］.這樣我們能夠合理地定義變指數Sobolev空間的齊次邊值問題.

帶有變指數的p(x)-Laplace方程與一般的常指數的p-Laplace方程有很大的不同，它的擴散項更為精細地描述了種群動力學和物理學中的擴散現象［2］.這在實際中有著廣泛的應用，例如圖像處理［3］和電磁流體［4］.

特別地，在圖像處理和恢復的研究中，與常指數情形相比，在變化的指數情形下求得的泛函極小元更具有實際意義.因為它不但保留了原來的邊緣數據，而且形成了一些新的原始圖像的邊緣信息，即所謂的“階梯效應”.

下面我們給出方程(1-2)的弱解的定義.

定義1 方程(1-2)的弱解u是指u∈，并且對任意的，如下的積分恒等式成立

即(1-2)是在分布意義下成立的.

方程解的有界性估計是計算數學和偏微分方程所關注的.本文主要研究方程(1-2)的L∞估計，主要定理如下：

定理1 假設函數a連續且，u是問題(1-2)的一個弱解.那么存在正常數R，使得.

2 定理的證明

首先，給出如下的變指數Sobolev空間的 De Giorgi迭代引理，它是對常指數空間情形迭代引理［5］的推廣.其證明是初等，我們略去.

3 定理的應用

帶有對流項和L-1數據的方程在實際中也有重要應用.例如下面的問題

其中，1＜p-≤p+＜∞，并且p滿足log-Holder連續性條件.方程(12-13)的右端項滿足

在方程(12～13)的弱解的存在性證明中，關鍵在于梯度項和L1數據的處理.運用定理1的證明方法可以克服這些困難.證明的主要思路如下：

第一步：考慮方程

其中h∈L∞(Ω)，∈ (L∞(Ω))N.根據偽單調算子理論［6］，其弱解的存在性是標準的.運用定理1的方法，我們知道(14～15)的弱解是L∞有界的.

第二步：(12～13)弱解的存在性可以通過下面的其擾動方程的弱解來逼近

由第一步的結果，我們知道對每一個n，方程(16～17)存在弱解

在(18)中選取合適的檢驗函數［7］，根據標準的極限過程，我們能夠找到方程(12～13)的弱解.

［1］C.Zhang，S.Zhou，Renormalized and entropy solutions for nonlinear parabolic equations with variable exponents and data［J］.Differential Equations，2010，248.

［2］L.Diening，P.Harjulehto，P.Hasto，M.Ruzicka，Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents［M］.volume 2017 of Lecture Notes in Mathematics.Springer，Heidelberg，2011.

［3］Y.Chen，S.Levine，M.Rao，Variable exponent，linear growth functionals in image restoration［J］.SIAM J.Appl.Math.2006，66.

［4］M.Ruzicka，Electrorheological fluids：modeling and mathematical theory［M］.volume 1748 of Lecture Notes in Mathematics，Springer-Verlag，Berlin，2000.

［5］Z.Wu，J.Yin，C.Wang，Elliptic¶bolic equations［M］.World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd.，Hackensack，NJ，2006.

［6］O.Kov′aˇcik，J.R′akosn′1k，On spaces Lp(x)and Wk，p(x)［J］.Czechoslovak Math.J.1991，41(116).

［7］L.Boccardo，T.Gallou?t，L.Orsina，Existence and nonexistence of solutions for some nonlinear elliptic equations［J］.Anal.，Math.1997，73.