帶雙參數的四次均勻B樣條*

盛鴻宇

(北京聯合大學電子信息技術實驗實訓基地，北京100101)

在CAGD中，均勻B樣條是一個很有用的工具，但也有不足的地方，如對給定控制點，均勻B樣條曲線的位置也是確定的，如果要調整曲線形狀需調整控制多邊形.為此，人們作了不同探索，提出了用張量參數構造曲線的方法［1-2］，有理Bézier曲線和有理B樣條曲線［3-4］及其它類型的可調形狀有理曲線［5-6］，另外，CB-樣條曲線［7］Barsky構造的β樣條曲線［8］，韓旭里等對三次均勻B樣條曲線的擴展［9］，帶形狀參數的均勻B樣條［10］及帶形狀參數的三角多項式均勻B樣條［11］等，它們都可通過對形狀參數改變調整曲線形狀.以上各種方法美中不足的是當參數值改變時這些曲線整體變動，不能對曲線作局部調整.本文構造的四次帶雙參數均勻B樣條，曲線既可作整體變動，又可局部調整，λ控制整條曲線位置，當λ固定時，各曲線段端點固定，改變參數μ可以對曲線段在保持端點不動的情況下進行局部調控.如果λ固定，改變參數μ且各曲線段μ取同一值時，所構造的曲線C1連續.如果λ固定，改變參數μ且各曲線段μ取不同值時，所構造的曲線G1連續.三次均勻B樣條是本文特例.

1 曲線構造與連續性

定義1 對t∈［0，1］，λ，μ∈R，稱關于t的多項式

定理2 (1)當μ=-1/2時，bi(t)(i=0，1，2，3)是文獻［10］中的帶形狀參數四次均勻B樣條基；(2)當λ=0，μ=-1/2時，bi(t)(i=0，1，2，3)是三次均勻B樣條基.

證明 把μ=-1/2與λ=0，μ=-1/2代入(1)式計算可得(1)與(2).

圖1分別給出了μ固定λ變動(a圖)以及λ固定μ變動(b圖)時，調配函數首尾相接的曲線圖.

圖1 調配函數圖

由式(1)可以定義帶雙參數λ，μ的四次均勻B樣條曲線.

定義2 給定控制點Pi∈Rd(d=2，3；i=±1，±2，…)和均勻節點… ＜ti＜ti+1＜…，對t∈［ti，ti+1］定義帶雙參數的四次均勻B樣條曲線段：

定理3 由式(3)構造的曲線具有如下性質：

(1)當λ固定，μ改變且各曲線段μ取相同值時，曲線C1連續；

(2)當λ固定，各曲線段μ取不同值時，曲線G1連續.

證明 直接計算得

2 參數λ，μ對曲線的調控情況

定理4 當λ固定時，曲線段(2)端點固定，改變參數μ可以對曲線在保持端點不動的情況下進行局部調控.

證明 由定理3的證明中ri(λ，μ；0)與ri(λ，μ；1)可知，曲線段ri(λ，μ，ti)只與λ有關而與μ無關，故當λ固定時，曲線段端點固定.

圖2分別給出了μ固定λ變動(a圖)以及λ固定μ變動(b圖)時，曲線段的變動情況示例圖.

圖2 形狀參數影響效果圖

3 曲線應用實例圖

與三次均勻B樣條曲線一樣，對四次帶雙參數均勻B樣條曲線若要求曲線以P1和Pn分別為起點和終點，并且在P1和Pn處的切線分別為P1P2和Pn-1Pn時，只要增加兩個頂點P0=2P1-P2和Pn+1=2Pn-Pn-1，其中P0，P1，…，Pn+1是曲線(3) 的控制多邊形.當要構造封閉曲線(P1=Pn)時，只要對控制多邊形多取兩個頂點Pn+1=P2，Pn+2=P3.

圖3分別給出了μ固定λ變動的開曲線(a圖)閉曲線(b圖).

圖3 μ=-1/2，λ=1，-0.8，-2.6，-4.4的開曲線閉曲線

圖4 酒瓶效果圖

圖4中a圖是μ=-1/2且λ=-3.2即文獻［10］中λ=-3.2時帶形狀參數四次均勻B樣條所構成的葡萄酒瓶，b圖與c圖是用本文基函數構造的λ=-3.2，μ變動所構成的不同形狀的葡萄酒瓶.

4 小結

本文方法可以生成位于三次均勻B樣條附近的不同曲線，C1連續.參數λ，μ都能調整曲線形狀，λ控制整條曲線位置，當λ固定時，各曲線段端點固定，改變參數μ可以對曲線段在保持端點不動的情況下進行局部調控.如果λ固定，改變參數μ且各曲線段μ取同一值時，所構造的曲線C1連續.如果λ固定，改變參數μ且各曲線段μ取不同值時，所構造的曲線G1連續.當μ =-1/2時，就是文獻［10］中的帶形狀參數四次均勻B樣條基.三次均勻B樣條是本文特例，當λ=0，μ=-1/2時，就是三次均勻B樣條.所給圖形實例說明運用本文方法進行曲線設計是很有效的.

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［3］Hoschek J.Lasser D.Fundamentals of Computer Aided Geometric Design［M］.Wellesley，MA：A K Peters，1993.

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［5］Goodman T N T.Constructing piecewise rational curves with Frenet frame continuity［J］.Computer Aided Geometric Design，1990，7(1/4)：15-31.

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［7］Jiwen Zhang.C-curves：An extension of cubic curves［J］.Computer Aided Gometric Design，1996，13(3)：199-217.

［8］Barsky B A.Computer Graphics and Geometric Modeling Using Beta_Spline［M］.Heidelberg：Springer-Verlag，1988：100-150.

［9］韓旭里，劉圣軍.三次均勻B樣條曲線的擴展［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2003，15(5)：576-578.

［10］王文濤，汪國昭.帶形狀參數的均勻B樣條［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2004，16(6)：783-788.

［11］王文濤，汪國昭.帶形狀參數的三角多項式均勻 B樣條［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2004，28(7)：1192-1198.