賦廣義Orlicz范數的Orlicz序列空間的UKK性質*

段麗芬，莊彩彩

(通化師范學院數學學院，吉林通化134002)

設X是Banach空間，若對任何ε＞0都存在δ ＞ 0，當xn∈B(X)，且 ‖xn-xm‖ ≥ ε(n≠m)時，有‖x0‖≤1-δ，則稱X具有UKK性質［1］.經典Orlicz空間作為一類內容豐富的具體的Banach空間，具有 UKK 性質的判據已經查明［2，3］，本文給出賦廣義Orlicz范數的Orlicz序列空間具有UKK性質的條件.文中其他定義及符號均同［4］.

為了證明方便，首先給出兩個引理.

引理1 設M是N-函數，xn∈B(lM，p)(1 ＜p＜∞，n=0，1，…)，kn滿足

引理2 設M是N-函數，xn∈lM，p(1 ＜p＜∞，n=0，1，…).若xn→wx0(n→ ∞)，則xn按坐標收斂于x0(n→∞).

定理1 設M是N-函數，則對任何1＜p＜∞，lM，p具有UKK性質的充要條件是M∈Δ2.

證明 必要性.因UKK空間具有H性質，利用文獻［5］定理1，M∈Δ2得證.

充分性.取 ε ＞0按文獻［4］定理1.39，存在β＞0使得蘊含ρM(x)≥β.任取xn∈B(lM，p) 滿足

我們需要找δ＞0，使得‖x0‖M，p≤1-δ即可.

若x0=0，結論顯然成立；若x0≠0，存在唯一數列{kn}，kn＞ 1，使

則按引理1，{kn}有界，從而存在{kn}的收斂子列仍記為{kn}，不妨設kn→k(n→∞).記

因M∈Δ2，存在i0∈N，使得

因，利用引理2，xn按坐標收斂于x0.因此存在c∈N，使得當n，m＞c時，

［1］Huff R.Banach spaces which are nearly uniformly convex［J］.Rocky Montain J.Math.，1980，10(4)：743-749.

［2］趙亮，胡慶華，李巖紅.Orlicz序列空間的 UKK*，WUKK，WUKK* ［J］.哈爾濱理工大學學報，1999，21(3)：15-16.

［3］Meng C H，Cui Y A，Wang T F.Nearly convex in Orlicz sequence spaces equipped with Orlicz norm［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathmatics，2000，15(1)：1-8.

［4］CHEN S T.Geometry of Orlicz spaces［M］.Warszawa：Dissertations Math，1996.

［5］段麗芬，左明霞.賦廣義Orlicz范數Orlicz序列空間的H性質［J］.吉首大學學報：自然科學版，2014，36(2)：11-15.