解一道競賽題的“通性通法”

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(衢州高級中學(xué)何數(shù)思維工作室 浙江衢州 324006)

解題教學(xué)，我們教的不是解題技巧，而應(yīng)該是解題的通性通法(“通性”是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”是概念所蘊含的思想方法)．培養(yǎng)學(xué)生解題的通性通法，有利于培養(yǎng)學(xué)生普遍聯(lián)系的觀點和辯證思維的能力．

2014年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽于4月13日結(jié)束，在研究最后一題解題方法的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)標準答案給出的是競賽題的解題思路，方法自然，但因技巧性強，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力不是很好．就題目本身而言，肯定是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一道好題．那么，在解題教學(xué)中，我們應(yīng)該怎樣發(fā)揮它應(yīng)有的作用呢？從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)，尋找題目所蘊含的數(shù)學(xué)方法，即所謂解題的“通性通法”，這才是根本．“通性”是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，本題可以轉(zhuǎn)化為解三角形問題，而解三角形問題的通性是正弦定理、余弦定理的應(yīng)用；也可以應(yīng)用求解幾何問題的通性，就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解；還可以應(yīng)用解方程組的通性，降次、消元、整體代換等．“通法”是概念所蘊含的思想方法，解三角形問題的通法是利用正弦定理或余弦定理進行邊角互化；也可以考慮把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，應(yīng)用坐標法求解；還可以應(yīng)用消元法，方法自然，解法簡潔，通俗易懂．

例1設(shè)正實數(shù)a,b,c滿足

求a,b,c的值．

解法1(構(gòu)造法)如圖1，以O(shè)為出發(fā)點，作長度為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

∠AOB=90°，∠AOC=120°,

則

∠COB=150°.

由余弦定理知

于是

∠CAB=90°.

在Rt△ABO中，由正弦定理知

從而

在△ACO中，由正弦定理知

從而

因為

∠ABO=∠CAO,

所以

代入a2+c2+ac=4和a2+b2=3，求得

評注應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解三角形，是解三角形問題的通法．

圖1 圖2

解法2(坐標法)如圖2，以O(shè)為出發(fā)點，作長度分別為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

∠AOB=90°,∠AOC=120°，

則

∠COB=150°.

由余弦定理知

于是

∠CAB=90°.

(1)

又直線AO和CO的夾角是120°，利用(到角)公式

得

(2)

聯(lián)立方程(1)和(2)，求得

利用兩點間的距離公式，求得

評注坐標法是以坐標系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法．它是解析幾何中最基本的研究方法之一．其實，許多幾何問題都可以應(yīng)用坐標法．本題應(yīng)用坐標法，把復(fù)雜的運算問題簡單化．另外，本題也可以利用夾角公式求解．

解法3(消元法)因為3+4=7，所以

(3)

由a2+c2+ac=4,得

4-a2=c(a+c),

(4)

(5)

式(4)除以式(5),得

(6)

聯(lián)立方程(3)和(6)，消去c，得

因為a2+b2=3，所以

評注利用常規(guī)的求解三元二次方程組的消元法，結(jié)合降次、整體代換等解題的通性通法完成解題．另外，從該解題方法我們可以看出，題目的已知條件“正實數(shù)a,b,c”可以推廣到“實數(shù)a,b,c”(答案作相應(yīng)的調(diào)整，此處略)．

在解題教學(xué)中，注重基本概念、基本原理及其聯(lián)系性，把握解題的通性通法，不僅是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的根本，而且也是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道．

圖3

另附標準答案：如圖3，以O(shè)為出發(fā)點，作長度為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

∠AOB=90°,∠AOC=120°,

則

∠COB=150°.

由余弦定理知

于是

∠CAB=90°.

過點O作OE⊥AC,OF⊥AB,設(shè)AE=m，OE=n,由∠ABO=∠OAE,得

即

又∠AOC=120°,得

即

于是

從而

參 考 文 獻

[1] 章建躍．什么是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011(7/8)：封底．

[2] 章建躍．注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011(11)：封底．

[3] 章建躍．注重課堂生成才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2011(12)：封底．