基本功顯內力 創造力解新題
——例析導數背景下如何證明與正整數有關的不等式問題

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(黃陂一中盤龍校區 湖北武漢 430312)

在導數問題背景下證明含有正整數的不等式問題，一般都設置有幾個小題，最后證明不等式.這類問題一般可以用數學歸納法或者不等式適當放縮進行證明.命題者通常還有一個重要意圖是利用前幾個小題中已經得出的結論，充分發揮學生的創造力，把函數中的變量x用含有n的式子進行替換，再通過適當變形證明不等式.但是如何替換及變形對學生來說是難點，應該怎樣突破呢？下面歸類分析,幫助學生解決這個問題.

1 證明含有二元正整數的不等式

(1)求實數a的值；

分析(1)a=1.

(2)g(x)的單調增區間為(0,1)，(1,+∞)．

亦即

得

因為m>n>1，由第(2)小題可知g(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以

g(m)>g(n)，

即

點評含2個變元的不等式，通過變形(2邊取對數、取倒數等)，把它變形為一個函數f(x)背景下2個函數值的大小f(m)≥f(n)(或f(m)≤f(n))形式，再根據函數的單調性得出結論.

2 證明含有一元正整數的不等式

2.1 直接替換，再求和

(1)當a=2時，試比較f(x)與1的大小；

分析(1)當a=2時，

①當x>1時，f(x)>1；

②當0

③當x=1時，f(x)=1．

(2)根據第(1)小題的結論，當x>1時，

即

從而

又

于是

點評含有一元正整數不等式的證明，且是求和形式，可聯想

2.2 替換，放縮，再求和

分析(1)實數k的取值范圍為(-∞,2].

(2)由第(1)小題，當x≥1時，

即

從而

將以上不等式2邊分別相加，得

但與所證結果有“距離”，再從右邊觀察推理，需將替換后的式子進行一次放縮，即

再2邊求和，不等式得證.

2.3 “巧”替換，“活”變形，再求和

例4已知函數f(x)=ex-ax-1(其中a>0，e為自然對數的底數).

(1)求函數f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值；

(3)在第(2)小題的條件下，證明：

分析(1)f(x)的最小值為

f(lna)=elna-alna-1=a-lna-1.

(2)f(x)≥0對任意的x∈R恒成立,即在x∈R上，f(x)min≥0，易得a=1.

(3)由第(2)小題知，因為a=1，所以對任意實數x均有

ex-x-1≥0，

即

1+x≤ex.

得

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1,

e-(n-1)+e-(n-2)+e-(n-3)+…+e-2+e-1+1=

此時“順序顛倒”著出現結果，不等式得證.

2.4 替換，變形，添(減)項

(1)用a表示b，c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍；

(2010年湖北省數學高考理科壓軸題)

解得

其中x≥1，當x=1時取到等號.當x>1時，

即

依次令k=1,2，3,…，n,得

…

各式相加得

原不等式得證.

2邊求和得到不等式

2.5 執果索因，恰當替換，“活”變形，“巧”構造

例6已知函數g(x)=x2-(2a+1)x+alnx.

(1)當a=1時，求函數g(x)的單調遞增區間；

(2)若函數g(x)在區間[1,e]上單調遞增，求a的取值范圍；

(3)在第(1)小題的條件下，設f(x)=g(x)+4x-x2-2lnx，證明：

(參考數據：ln2≈0.693 1.)

(2)函數g(x)在區間[1,e]上單調遞增，則a≤1.

由x∈[2,+∞)，h′(x)<0,得

即

又

k-f(k)=lnk，

此時右邊如何得到是難點.從要證明的結果分析，要“善”變形，如

也即

“巧”構造函數

2.6 “靈活”變形，“恰當”賦值，“疊加”求和

例7設n是正整數，r是正有理數.

(1)求函數

f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1

(其中x>-1)的最小值；

(2)證明：

(2013年湖北省數學高考理科壓軸題)

分析(1)f′(x)= (r+1)(1+x)r-(r+1)=

(r+1)[(1+x)r-1],

從而f(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增,得

f(x)min=f(0)=0.

(2)由第(1)小題知：當x>-1時，

(1+x)r+1>(r+1)x+1(伯努利不等式),

所證不等式即為

若n≥2,則

nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1,

從而

(1)

因為

所以

故式(1)成立.

若n=1,則nr+1-(r+1)nr<(n-1)r+1顯然成立.由

nr+1+(r+1)nr<(n+1)r+1，

得

(2)

因為

所以

故式(2)成立.原不等式成立.

(3)由第(2)小題可知：當k∈N*時，

210.225,

210.9,

于是

[S]=211.

再用疊加法求和.

在導數背景下含正整數的證明問題，作為壓軸題其解答方法雖然很多，但是在高考中能新穎別致、頗具創意地完整解答的學生很少，大部分學生會采用通性通法.壓軸題的命題思路，往往是環環相扣，“遞進”式設問，既能考查學生的功力，又能考查學生的靈性,讓優秀的學生能脫穎而出.但是在高考有限時間內真正能做對做全的學生極少，學生常常在關鍵位置“迷路”.因此教師應加強對壓軸題的研究，幫助學生逐步掌握解答壓軸題的策略，學生也就不會望而生畏，更不會果斷放棄.學生在平時的備考復習中要增強信心，多思考、多積累，從而提高壓軸題的得分率.