巧用降維策略 破解數(shù)學難題

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(北侖中學 浙江寧波 315800)

1 從一道高考試題談起

2014年浙江省數(shù)學高考結(jié)束后,絕大多數(shù)考生覺得試題太難了,有許多高中數(shù)學教師也認為它是浙江省近5年數(shù)學高考試題中最難的一套試題.事實上,其中的解答題沒有特別難的地方,考生感到難的主要原因是有幾道選擇題和填空題不是很“厚道”，其中的第10題(選擇題壓軸題)成了許多考生的“滑鐵盧”，有的考生花費了很多時間，但是答案還是“千呼萬喚不出來”；有的考生經(jīng)過漫長的推算，最后終于得到正確答案，但由于耗時過多，影響了后面試題的解答．文獻[1]中介紹了對這一試題的2種解法，但這2種解法都要經(jīng)過大量的推算才能得到結(jié)論，也是許多考生在考場上所采用的解法.筆者認為這2種解法都不是命題教師所希望看到的解法．

等價轉(zhuǎn)化思想是中學數(shù)學中最重要的數(shù)學思想方法之一.許多所謂的數(shù)學難題，一般可以通過等價轉(zhuǎn)化的方法，把它化歸為相對簡單的問題；其中數(shù)學難題之所以是難題的一個重要原因是參變量的個數(shù)太多，即“維數(shù)”太高所致；若能通過合法、有效的途徑減少參變量的個數(shù)，把“三維”問題“二維”化，“二維”問題“一維”化，則往往能找到解題的通途．

對于這道選擇題壓軸題，事實上只要考察所涉及的函數(shù)圖像在y軸上的投影，即把“二維”問題“一維”化，問題就很容易解決了.也許這才是命題教師所希望看到的解法！

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A.I1

C.I1

(2014年浙江省數(shù)學高考理科試題第10題)

圖1

(1)由于f1(x)=x2是[0,1]上的增函數(shù)，因此I1=u1=1.

綜上所述可得I2

2 降維對策的應(yīng)用舉例

例2以正100邊形的頂點為頂點的兩兩不全等的三角形的個數(shù)為______.

解(第1次轉(zhuǎn)化)正100邊形的頂點將其外接圓分成100等份,設(shè)三角形的3個頂點之間的弧分別含x,y,z等份,則x+y+z=100,且原問題等價于不定方程x+y+z=100(x≤y≤z)的正整數(shù)解(x,y,z)的個數(shù),也等價于不定方程x+y+z=97(x≤y≤z)的非負整數(shù)解(x,y,z)的個數(shù).

(第2次轉(zhuǎn)化)如圖2,在空間直角坐標系中,設(shè)A(97,0,0),B(0,97,0),C(0,0,97),則平面AB的方程為

x+y+z=97,

圖2 圖3

(計算答案)如圖3,作F0G⊥OB于點G，則△OGF0內(nèi)(包括邊界)中整點的個數(shù)為

則△E0GF0內(nèi)(包括邊界)中整點的個數(shù)為

△OE0F0內(nèi)部(包括邊界)中整點的個數(shù)為561+272=833，因此不全等的三角形的個數(shù)為833個．

評注當問題化歸為：“求不定方程x+y+z=100(其中x≤y≤z)的正整數(shù)解(x,y,z)的個數(shù)”以后，也可通過代數(shù)方法解決，但對運算能力的要求較高，且較難驗證結(jié)論的正確性.本解法運用數(shù)形結(jié)合的思想，把問題化歸為“求△CEF內(nèi)部(包括邊界)中整點的個數(shù)”(在三維空間中)，再化歸為“求△OE0F0內(nèi)部(包括邊界)中整點的個數(shù)”(在二維空間中)，最終得到結(jié)論，思路自然、過程清晰、形象直觀．

分析本題是一個關(guān)于a,b,c的三元函數(shù)最值問題，因此把條件化歸為關(guān)于a,b,c的不等式組后，若能化為二元函數(shù)，甚至是一元函數(shù)的最值，問題就容易解決了．

圖4

設(shè)過點A(1,-2)的曲線x2=4y的切線的斜率為k(k>0)，則其方程為y=k(x-1)-2,代入x2=4y整理得

x2-4kx+4k+8=0.

由Δ=16k2-16(k+2)=0(其中k>0),得k=2，從而kAP的最小值為2，故umin=3．

看不清試題的本質(zhì)所在是造成解題困難的重要原因之一.若能通過等價轉(zhuǎn)化的方法，剝?nèi)栴}的“過度包裝”，顯露其本質(zhì)所在，再注意減少問題的參變量個數(shù)，即注意降維策略的使用，則往往能使問題“柳暗花明”．

參 考 文 獻

[1] 徐麗華.2014年浙江省高考數(shù)學理科卷選擇題壓軸題解析[J].數(shù)學通訊,2014(7)(下半月):52-54.