避免因錯失分 提升解題能力
——高中數學易錯問題分析及教學應對策略探討

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(高淳高級中學 江蘇高淳 211300)

據羅增儒先生《數學解題學引論》認為，數學教學離不開解題，沒有解題的數學教學是不完整的．數學習題教學是以學生為主體，依照或模仿例題，將自己學過的數學知識應用到解決數學問題的實踐性活動中．高中學生面臨著高考的升學壓力，可以說分分必爭，因此高中數學解題教學就顯得尤為重要．筆者發現，在日常的教學中，很多學生平時喜歡攻難題，覺得它能體現自己的數學學習能力，有成就感，而對中檔題、簡單題漠不關心，總覺得自己會做，沒有挑戰性．結果在考試中卻常常因為簡單題、中檔題失分，致使總分不能與自己的實力相匹配，產生懊惱情緒，想改變，又不知從何處著力．筆者整理學生平時易犯的錯誤，并作必要分析解讀，嘗試提出應對策略，以期能引起同行重視，幫助學生減少中低檔題的失分．

1 學生解題錯誤原因分析

解題是對問題中所含信息的提取、組織、加工的過程，是對已有知識、經驗的綜合應用過程．總的來說，學生在解題中出現的主要錯誤是陳述性知識錯誤和程序性錯誤．

1．1 陳述性知識錯誤

陳述性知識，也叫“描述性知識”．它是指個人具有有意識地提取線索，而能直接加以回憶和陳述的知識．主要用來說明事物的性質、特征和狀態，用于區別和辨別事物．這種知識具有靜態的性質．陳述性知識要求的心理過程主要是記憶．陳述性知識錯誤主要表現為沒有正確理解題意即審題不清，對已有的知識(概況、定理、公式、法則等)沒有完全掌握．具體表現為：

(1)數學概念理解不到位.

例1已知α是第一象限角，那么3α是第幾象限角？

剖析缺少周期概念．

剖析不能區分象限角和軸線角的概念．

錯誤寫成“(-∞，1)∪(1，+∞)”的形式．

剖析單調性定義中要求單調區間必須是定義域中的某個區間，“某個區間”是單調性定義的核心要素之一，很多學生沒有認清．

(2)命題的等價性理解不到位.

錯誤b=-1，c=3或b=1，c=-1，很多學生不檢驗取舍．

剖析很多學生對于命題“若f(x)在x=x0處取得極值，則f′(x)=0”為真，其逆命題“若f′(x)=0，則f(x)在x=x0處取得極值”為假理解不到位，隨意認同原命題與逆命題同真假．

(3)定理條件易疏漏.

例4命題:(1)若l⊥β，且α⊥β，則l∥α；(2)若α∩β于直線l，且l∥m，則l∥α．

錯誤多數學生認為它們是正確的．

剖析忽視了證明線面平行的條件之一是線必須不在面內．

(4)解方程時隨意約去字母.

剖析很多學生主元意識和因式分解意識不強，特別是因式分解意識極其淡薄.本題如能想到提取公因式解方程，錯誤就會避免．

(5)數學符號表達不規范.

例6終邊落在直線y=-x上的角的集合可以表示為______．

剖析對集合描述法各處符號意義理解不清，適用范圍掌握不到位．

1.2 程序性知識混亂

程序性知識是個人沒有有意識提取線索，只能借助某種作業形式間接推論其存在的知識．程序性知識是關于“怎么辦”的知識.學生程序性知識混亂具體表現為以下幾種狀況．

(1)端點意識不強.

例7若函數f(x)=loga(1-ax)在x∈(1，2)上為增函數，則實數a的取值范圍是______．

剖析問題轉化為減函數t(x)=1-ax>0在x∈(1，2)上恒成立，很多學生寫成1-a·2>0，在端點上出錯，功虧一簣．如果在解題中對端點值進行檢驗，則可避免錯誤．

(2)分析角范圍的意識不強.

錯誤因為α，β均為銳角，所以α+β∈(0，π)，產生2個解．

剖析三角求值、求角中對于角范圍的分析十分重要，解題程序中就要根據已知角的函數值來估算角范圍的步驟，只不過多數學生沒有意識到．

(3)三角變形和代數變形不能相互利用.

例9求證：

錯誤多數學生三角變形為先，結果計算復雜，深陷其中．

剖析三角變形從屬于代數變形(提取公因式，因式分解等)，解題程序中應互相利用，不能顧此失彼．

(4)分類討論混亂.

例10已知函數f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(其中a為常數)．當a>0時，討論函數y=f(x)在區間(0，1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

錯誤很多學生不能理清問題實質，從而導致分類討論不全或錯誤．

剖析很多學生不清楚求導后需要干什么，屬于對基本程序求導后轉化為分析方程f′(x)=0根的問題，根據根的有無、大小比較確定f′(x)的符號，對分類的標準認識不到位．

(5)方程思想理解不深.

例8已知直線y=kx是y=lnx的切線，則k=______．

剖析多數學生方程意識不強，對設出幾個未知量就需列幾個獨立方程的解題程序認識不清．

2 課堂解題教學策略

2.1 注重概念、定理、法則、公式的教學

高中數學課程標準要求：理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊含的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用．通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的過程．因此在平時學習過程中，教師對每一個概念、定理、法則、公式都要理清前因后果、內在聯系，揭示其本質和蘊含的數學思想方法．同時打破章節局限，對知識重新組合進行變式訓練，提升陳述性知識應用上的活力．

2．2 注重提升數學思維能力的教學

數學是一門思維科學，思維能力是數學學科能力的核心．數學思維能力是以數學知識為素材，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明的模式建構等，對客觀事物中的空間形式、數量關系和數學模式進行思考與判斷，形成和發展理性思維，構成數學能力的主體．提高數學思維能力的關鍵在于掌握數學思維方法．數學思維方法包括分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹、類比與猜想、一般化與特殊化等．因此在解題過程中，要充分暴露學生解題的思維過程，突出解題中的探索環節及解題方法被發現的過程，培養學生解題思維中的調控能力．這要求教師從學生的思維角度出發，將解題思路精心設計成符合學生認知結構特點的帶有選擇的思維過程．注重學生解題的程序性知識構建．

2.3 注重學生自主糾錯反思的教學

為了應試，很多教師對學生不放心，凡題都講精、講細、講透，沒有給學生留下自由思考的空間．這樣就束縛了學生思維的發展，自主學習，合作探究就成了一句空話．因此對于學生的解題錯誤，教師可以先讓學生自查、自糾，并分析反思、討論講解錯誤的原因，然后引導其歸納總結．這樣就有利于培養學生發現、分析及解決問題的能力，激發學生的學習熱情，最大限度地挖掘每個學生的潛能．

參 考 文 獻

[1] 羅增儒．數學解題學引論[M]．西安：陜西師范大學出版社，2004．

[2] 陳輝．考試力:高中數學[M]．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2008.