關于數學命題的一些想法

●

(稽山中學 浙江紹興 312000)

命題能力是高中數學教師必須具備的專業素質之一，它是課堂教育、教學輔導、解題研究等能力所不能替代的重要的教師基本功之一，也是教學水平、教師素養、專業功底和教學研究能力的綜合體現.從現階段的高中數學教學實際情況分析，許多高中數學教師的命題能力是不夠的，其中的重要原因是忽視了命題能力的重要意義，很少把命題作為教學研究、業務培訓和專業發展的重要內容.在現有的教育教學研究書刊上也很少涉及有關命題的問題.本文通過命題實踐的一些想法來說明命題過程實質上是研究數學本質、數學思想、數學知識、數學問題和解題方法之根本的過程.期望能引起高中數學教師對命題的重視.

命題主要包括命題設計和編制試卷，同時要考慮評價過程和效果分析.

1 命題的題型

1.1 從命題的作用和目的分

從命題的作用和目的分，一般有以下幾種題型：

1.1.1 知識題

考查知識點的掌握程度.一般來說，這類題目直接來源于數學知識，比較直觀和簡單.

(2014年浙江省數學高考理科試題第12題)

1.1.2 知識應用題

考查理解、掌握知識的程度.這類題目要求應用的知識點比較明確，方法直接，技巧能力和運算能力要求不高.

(1)求角C的大小；

(2014年浙江省數學高考理科試題第18題)

1.1.3 能力題

在知識點的基礎上，考查數學基本思想、基本思維、基本方法、基本能力等數學學習和解決問題的能力，重在數學能力的體現，屬于較高要求的題型.

(2014年重慶市數學高考理科試題第15題)

1.1.4 計算題

在數學知識的基礎上，考查數學的重要能力——運算能力，包括數字運算、字母運算和數學式運算等.這類題目對數學其他能力要求一般，重在體現運算能力(包括方法、技巧和運算的邏輯性、嚴謹性).在每年的數學高考卷中一般都有出現.

圖1

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b表示點P的坐標；

(2)若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1距離的最大值為a-b.

(2014年浙江省數學高考理科試題第21題)

1.1.5 討論題

討論題是體現數學思維能力較高要求的一類題.在數學知識的基礎上考查數學思維、運算、演繹、邏輯推理能力,區分不同條件下分類討論和解題書寫表達的能力.

例5已知函數f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a)，m(a),求M(a)-m(a)；

(2)設b∈R,[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數學高考理科試題第22題)

1.1.6 探索題

在數學知識、能力的基礎上考查一定的數學創新、探索、研究能力，屬于較高要求的題型.此類題目在以往高考題中常有出現,由于在限定時間內探索研究的時間難以把握，近幾年的高考中出現較少.

1.1.7 技巧題

考查數學解題的一些典型、特殊的方法和解題技巧，體現創造能力、數學潛力和數學才智.但新課標考綱中明確指出數學高考要求通性通法，因此專門考查技巧的題型在高考中已較少出現，一般都在能用通法解決的一些客觀題上體現一下特殊的方法技巧.當然，在平時的教學和練習時，設計一些技巧題，還是很有必要的，這對于激發學生學習興趣、體現數學靈活性、培養學生數學智慧是很有意義的，而且典型、特殊的方法技能對于快速、正確地解題，尤其是解決客觀題，或者是檢驗通性通法的結論是很有益處的.

例7設實數x，y滿足

求x+y的值.

1.1.8 應用題

根據新課標要求，數學應用題是作為一種應用能力來要求的，考查能否將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，利用數學知識、數學思想進行分析并解決.在實際命題中，由于對應用題的背景信息的合理性、公平性很難把握，近幾年的數學高考試題中應用題出現的也比較少.

1.2 從命題的形式分

從命題的形式分，一般有3種題型:

1.2.1 選擇題

國內高中數學的選擇題一般采用的是單選題，解答要求方法簡捷、靈活，能快速、正確解答.與解答題的解法要求不同，選擇題不需要寫出詳細的演繹、推理、運算過程，因此命題設計和解答方法更顯靈活多樣.

選擇題的4個選項設計，除了正確答案，其他3個選項一般是來源于由于審題不清、忽視隱含條件、計算錯誤、增根或漏解等產生的錯誤，也稱為設置“陷阱”，也是選擇題的特點之一.在平時練習時，這種“陷阱”可以提醒學生養成認真、仔細、嚴謹的數學學習習慣，但在考試時容易使粗心的考生造成非知識能力因素的失分，尤其當“陷阱”設計在第1個選項時，考生更容易上當.近幾年的高考一般避免故意設計“陷阱”的做法.如果其他3個選項回避了易錯的情況，考生只要會做，即使失誤，也可以自覺找出錯誤而正確解答.這對考查考生的數學知識和能力來說是有利而公平公正的.當然這樣也就失去了這一設計選擇題的特有方法.

對于演繹、推理、計算繁雜，書寫困難或花費時間，解答過程評改判分難以把握的問題，也可以用選擇題的形式呈現，有利于評改時的客觀、公正，這也是選擇題作為客觀題的意義之一.

判斷類型的問題，如圖像形狀、圖形關系、大小關系、類比關系、命題判別等也需要用選擇題的形式呈現.如2014年浙江省數學高考理科第2,4,7,8,9,10題，比較恰當的呈現方式就是選擇題.

需要用一些特殊技巧方法解決而又難以表述時，也可以采用選擇題.

選擇題的特點是解法比解答題更多樣靈活.除了通性通法，有些選擇題能較好地體現考生數學方面的學習能力、數學智慧、數學自覺和數學潛能，或者說是數學“天賦”.

選擇題的解法經常用到數形結合、合理猜想、類比判斷、極端情況、特殊賦值、篩選排除等，正確的解法往往符合選擇題的特點和命題意圖，從而事半功倍.

經常可以看到，對于命題教師設計的有相當難度的選擇題，有些聰明的考生用合理的“投機取巧”的方法能很快得到正確答案.他們的“方法”回避了命題設計的意圖和考點，使難點并不存在，這或許是選擇題的一種特色.

1.2.2 填空題

填空題與選擇題一樣屬客觀題，除了沒有選擇題的4個選項設計外，基本與選擇題一樣.但它避免了考生猜測答案的情況，比選擇題更合理、公平和客觀.因此現在有的省市高考已不再采用選擇題，而全用填空題作為客觀題，如2014年江蘇省數學高考就采用了14個填空題.

但是填空題同樣有一個考生規避命題意圖難點的問題.比如，像變量情況下的定值問題，一定可以由特殊點得到該定值.

此題意圖采用平面幾何、三角形內切圓性質和雙曲線焦點、定義相結合的解題方法，是一個設計很好的命題.但若考慮到點P無限接近于右頂點時，△F1PF2的內切圓心必然是右頂點，則內切圓心的橫坐標必須是a，這樣就規避了命題的考點.

(2014年浙江省數學高考理科試題第13題)

事實上，一般的線性規劃問題，都可以用3條邊線的交點代入解決.

由此可見，現有的選擇題、填空題作為客觀題，其客觀性主要反映在評判的過程中.是否能客觀體現出命題設計的考點和意圖還需要在命題時深入思考.

1.2.3 解答題

相對于選擇題、填空題來說，它要求呈現完整的解題方法、步驟，在書寫過程中體現出數學思想、知識掌握、方法運用、演繹推理、運算求解的能力以及認真嚴謹的數學態度.因而，除了答案，其解題過程也是重要的考查要求和評價依據.在評改時，容易帶有評改人的主觀因素，也考驗了評判的合理、準確、公平和公正性.這些都是解答題的特點.

2 命題的來源

命題要以數學基礎知識、基本方法為依據，突出主干知識、重要內容、通性通法和數學思想、數學能力、創造性思維.

編制題目一般可以從以下幾個方面設計相應的題型.

(1)從數學知識點出發，以概念、定義、公理、定理、公式、常識結論及應用為目標進行設計.

(2)從易忽視、易模糊、易產生錯誤的問題設計.

(3)以數學思想、常用解題方法為依據設計命題，考查數學思想方法的掌握和解決問題的能力.

(4)以數學基本能力和重要技能為基礎設計命題,考查數學能力和重要技能的掌握及在解題中的應用，體現學習數學的能力和智慧.

(5)以教材中的例、習題和思考、探究性問題為核心延伸、拓展、改變設計命題.

(6)以各類知識間的類比設計命題,如數形之間，函數與數列之間，方程根、圖像交點與函數零點之間，平面幾何、解析幾何、立體幾何之間的類比等.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.min{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

此題就是由平行四邊形的對角線平方之和等于4條邊平方之和這一結論類比成向量問題而來的.

(7)以變換設計命題.如代數式變換、圖形變換、函數變換、方程變換、常量變量變換等.

圖2

此題是依據三角形兩邊之和大于第三邊而來，由立體幾何中的三棱錐(如圖2)構造出底邊三角形的3條邊.

如果把三棱錐的3條側棱長和3個頂角變動一下，得到的3條邊長就是另外形式了.但是大小關系仍然成立，可以得到新的命題.

再如，命題“已知二次函數f(x)=4x2-2(a-2)x-2a2-a+1，當x∈[-1,1]時至少有一個值c，使得f(c)>0，求a的取值范圍.”就是由“對任意x∈[-1,1]恒有f(c)≤0，求a的值”正反轉化而來.

有的則是從解題思維的正反轉換來設計命題.

例12設k∈R，關于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0有實根，求其實根的取值范圍.

(8)以小題綜合成大題，或以大題分解成小題設計命題.

(9)以相關知識的聯系和組合設計命題.

3 命題設計的注意點

設計數學命題相對于其他學科的命題，有其自身學科的特點，在命題時應重視并體現.

要體現數學學科的特點——精簡、明確、嚴謹;要把握核心內容、主干知識、基本方法(通性通法)、典型問題;要反映數學思想、數學方法、數學能力和學習數學的素質潛能;要區分3類題型的特性，在解題方法、能力、技巧和時間、難度上有所區別;要考慮綜合解答題的解題過程、步驟、中間環節對整體解決和結論的影響，重視分題意義和前后小題的關聯.比如前面一個數據算錯，是否會影響整體解答.如果是考查數學思維方法能力的命題，由于前面計算粗心而使后面即使思維方法正確也無法繼續解答的，這種命題設計就難以達到考查數學思想方法能力的目的.

4 編制試卷

命題設計是單個的，要把設計好的命題編織成一份試卷，是綜合設計的過程.

(1)明確試卷測試的目的，根據測試目的，設計試卷內容和要求.一般來說，日常教學中有3類試卷.

第1類，單元內容檢查.重點在于檢查本單元的知識、方法和相應數學思想能力的掌握，根據單元的教學要求設計，不必在于難易度.考后可針對相應問題分析、點評、反饋，以查漏補缺、鞏固提高.

第2類，學期階段評估.如期中期末考、畢業考等.這是一類學業水平等級評估考核，考查相關知識、思維、方法、能力等，根據教學目的要求設計試卷.設計時要考慮相關的因素，如學生情況，測試時間、難度系數、考核各檔次的成績、合格分和通過比例等.

第3類，模擬選拔訓練.在現在的高考制度下，針對高考選拔的模擬測試訓練是必不可少的，這類試卷的目的就是根據教學目的、高考要求,反復訓練，鞏固提高，適應高考.設計時要準確把握高考要求、高考信息，體現主干知識、重要內容、數學思想、數學能力、數學方法及靈活綜合運用的技能.

(2)編制試卷應考慮的因素.

①明確設計的是哪一類試卷;

②把符合這類試卷的相應命題按知識、方法、題型和難易度分類、分層、分檔;

③按考試時間、考試要求、知識分布、題量結構、分值比例，在分好類的命題中選擇相應題目編制試卷;

④編制好后，試做一遍，對完成時間、評卷標準、難點、易錯點和分數檔次等有所預測;

⑤注意題號順序、難度梯次、知識點、面覆蓋和避免重復;

⑥謹慎使用偏題、怪題和技巧特別的難題;

⑦控制好計算量、討論量、作圖量和解答過程中書寫的時間量.

有些所謂的好題，往往是方法巧妙、思維新穎、能力要求高、容易犯錯類的命題，如果把教師認為的這類好題過多地編制在同一份試卷中，往往是一份過難的、不恰當的試卷，從而不能很好地體現這份試卷考查的目的和意義.

命題涉及的內容還有許多，命題過程實際上是數學教學的分析、研究、總結過程，也是數學教學的重要環節和組成部分.我們可以把某份高考試卷當做范本，認真透徹地分析研究，從中學習并體會命題的方法和意義.