淺析線性規(guī)劃問題

張麗英

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）08-0284-01課改以來，高考比以往更加重視對知識的探究過程，重視知識在現(xiàn)實生活中的應用。線性規(guī)劃充分體現(xiàn)了數形結合思想，并且廣泛應用于生產與營銷活動中的最優(yōu)化問題，因而成為高考的重點、熱點。在近年高考中多以選擇題、填空題出現(xiàn)。為此，我總結了線性規(guī)劃常見題型如下：

題型一：求約束條件問題

例：由直線x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式可表示為。

【解析】∵三角形區(qū)域在直線x＋y＋2＝0的右上方，又原點在直線x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0，∴三角形區(qū)域在x＋y＋2≥0的區(qū)域，

同理可確定三角形區(qū)域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的區(qū)域內．故該平面區(qū)域圖（1）用不等式表示為x＋y＋2≥0

x＋2y＋1≤0

2x＋y＋1≤0

【點評】給區(qū)域求約束條件，注意畫法原則應用：以線定界，以點定域，包括邊界含等號，不包括邊界不含等號。

題型二：求面積與最值（范圍）

例：變量x，y滿足x－4y＋3≤0，

3x＋5y－25≤0，

x≥1，

（1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求面積；

（2））z1=x＋2y的最值;

（3）設z2＝x2＋y2，求z2的取值范圍；

（4）z3=|2x+y+2| 的最大值；

（5）設z4＝y(tǒng)x，求z4的最小值；

【解析】（1）、畫出x，y滿足條件的可行域如圖（2）所示，經計算A(1，225)、B（5，2）、C（1，1），由圖知三角形ABC的面積即為所求，所求面積為12×175×4=345。

（2）、由z1=x＋2y得y=－12x＋z12由圖象可知，z12的幾何意義是直線y=－12x＋z12在y軸上的截距，要使z1取得最大值或最小值，只需y=－12x＋z12在y軸上的截距最大或最小。所以當直線y=－12x＋z12經過點A(1，225)、C（1，1） 時，z1分別取得最大值495和最小值3。

（3）、z2＝x2＋y2的幾何意義是可行域內任一點（x,y）到原點O（0，0）的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.

（4）z3=|2x+y+2|可看作是行域內任一點（x,y）到直線2x＋y＋2=0的距離的5倍，從而找到離直線最遠的點B（5，2）即是取最大值的點，此時的最大值為14。

（5）、∵z4＝y(tǒng)x＝y(tǒng)－0x－0，∴z的值即是可行域中的點x,y）與原點O連線的斜率．

觀察圖形可知zmin＝kOB＝25

【點評】本題（1）小題是給不等式組求其所表示的平面區(qū)域的面積，其余四題是線性目標函數在線性約束條件下的最植問題；解題關鍵是要準確畫出可行域、充分理解目標函數的幾何意義：（2）直線的截距（3）兩點間距離（或平方）（4）點到直線的距離（5）過已知直線兩點的斜率。解題時注意數形結合的應用。

題型三：求參數的取值問題

已知目標函數的最值求約束條件或目標函數中參數的取值問題

例：（1）.若x，y滿足約束條件x＋y≥1，

x－y≥－1

2x－y≤2，，目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是．

【解析】 畫出可 行域如圖（3），目 標函數可化為y＝－ a2x＋12z，根據圖象判斷，當目標函數的斜率－1<－a2<2時，目標函數z＝ax ＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，這時a的取值范圍是(－4,2)．

答案 (－4,2)

【點評】此題最優(yōu)解僅有一個，若在區(qū)域內有無窮多個點（x，y）可使目標函數z＝ax ＋2y取得最小值,則a的取值是多少也應會求。

(2)、已知實數x，y滿足y≥0

y≤2x－1

x＋y≤m，如果目標函數z＝x－y的最小值為－1，則實數m等于。

【解析】畫出x，y滿足條件的可行域如圖（4）所示，可知在直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點A處，目標函數z＝x－y取得最小值．

由y＝2x－1

x＋y＝m，解得x＝m＋13

y＝2m－13，即點A的坐標為（m＋13，2m－13）.

將點A的坐標代入x－y＝－1，得m＋13－2m－13＝－1，即m＝5。

【點評】正用和逆用線性規(guī)劃思想解決參數的問題，注意數形結合在解題中的應用。

回顧反思，近年來，線性規(guī)劃問題備受高考青睞，這種數學模型在我們生活實踐中處處可見，只要我們認真審題將其轉化為數學問題，依線性規(guī)劃解題步驟，充分利用數形結合思想，就能把問題正確解決，不但能提高分數，還能從中體會收獲的喜悅。