飲馬問題的拓展與應用

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(杭州市公益中學 浙江杭州 310014)

1 走進數學故事

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭2句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題．

如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的點A出發，走到河邊飲馬后再到點B宿營．請問怎樣走才能使總路程最短？

這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？

從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳開來[1]．

對稱性在初等數學到高等數學中都有著廣泛的應用，利用對稱性求最值的問題伴隨著學生從小學到大學的數學學習過程.在恰當的時機引領學生對對稱性問題進行合理地探索，顯得迫切而必要．

圖1 圖2

2 探索數學本真

如圖2所示，從點A出發向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A關于河岸的對稱點A′，聯結A′B，與河岸線相交于點C，則點C就是飲馬的地方.將軍只要從點A出發，沿直線走到點C，飲馬之后，再由點C沿直線走到點B，所走的路程就是最短的．如果將軍在河邊的另外任一點C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，但是

AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=

A′C+CB=AC+CB.

可見，在點C外任何一點C′飲馬，所走的路程都要遠一些．由作法可知，河流l相當于線段AA′的中垂線，因此AC=A′C.將軍走的路程是AC+BC，就等于A′C+BC，而由兩點之間線段最短知，當點C為直線A′B與直線l的交點時，AC+BC最短．

當然，若取點B的對稱點B′，聯結AB′，結論亦然．

初中階段的圖形變換包括對稱變換、平移變換、旋轉變換與相似變換，通過對稱變換的探索，使學生掌握研究圖形變換的思想方法，實現思維遷移，達到舉一反三的目的．

3 初步感知變式

變式1如圖3所示，若點A到直線L的距離AC是3千米，點B到直線L的距離BD是1千米，并且點C,D的距離為4千米，在直線L上找一點P，使PA+PB的值最小，并求這個最小值．

圖3

變式2如圖4所示，在直角坐標系xOy中，x軸上的動點M(x，0)到定點P(-8，1)和到Q(4，5)的距離分別為MP和MQ，當MP+MQ取最小值時，求點M的橫坐標．

圖4 圖5

分析如圖5，作點P(-8，1)關于x軸的對稱點P′(-8，-1)，當M為直線P′Q與x軸的交點時，MP+MQ的值最小．

圖6 圖7

飲馬問題的核心是怎樣將原問題化歸為兩點之間線段最短的問題．通過設置不同的問題背景，在變式過程中讓學生感悟這種化歸思想，提升學生分析問題與解決問題的能力．

3 探索拓展應用

拓展1如果飲馬人從圖8中的點A出發到筆直的河岸l去飲馬，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？

圖8

分析考慮到飲馬人必須在河邊走一段路程a，然后再去B地，可以先將點B平移至點E，再用“飲馬問題”的模型來求解．

如圖8，作點A關于直線l的對稱點A′，過點B作BE∥l，且BE=a，聯結A′E交l于點P，在l上截取PD=a，且點B,D在直線EP的同側，采取的路線為A→P→D→B時，總路程最短．

例1如圖9所示，已知點A(3，4)，B(-1，1)，在x軸上另取2個點E,F(點F在點E的右側)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，當線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最小？求出此時點E的坐標．

圖9 圖10

拓展2如圖11所示，如果飲馬人從點A出發，先到筆直的草地邊l1的某一處牧馬，再到筆直的河岸l2去飲馬，然后回到B處，走什么樣的路線最短？

圖11

分析本題實際上是“飲馬問題”的組合，分別作點A關于l1的對稱點A′，點B關于l2的對稱點B′，就可找到最短的線路．聯結A′B′分別交直線l1,l2于點P,Q，聯結AP,PQ,BQ，采取的路線為A→P→Q→B時，可使總路程最短．

例2如圖12所示，∠AOB=45°，角內有一點P，PO=10，在角的2條邊上有點Q,R(均不同于點O)，問△PQR周長的最小值是多少？此時，∠QPR的度數是多少？

圖12 圖13

此時，因為∠OPQ=∠OP1Q=45°，∠OPR=∠OP1R=45°，所以∠QPR的度數為90°．

拓展3如圖14所示，如果飲馬人從邊AC上的一點P出發，先到筆直的草地邊AB的某一處牧馬，再到與草地邊AB垂直的筆直河岸BC去飲馬，然后回到P處，如何確定點P的位置，使得所走的路線最短？

圖14 圖15

分析如圖15，分別作點P關于AB,AC的對稱點P′,P″，聯結BP′，BP″,可證△ABP′≌△A′BP″，可得點P′,B,P″共線，因此折線P′D,DE,EP″的最短路程是P′P″．因為平行線之間垂線段最短，所以當P′P″⊥AC′時，P′P″最短．

圖16

例3如圖16所示，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D,E,F分別是邊AB,BC,CA上的點，求DE+EF+FD的最小值.

分析由拓展3的分析可知：DE+EF+FD的最小值為P′P″，而當P′P″⊥AC′時，P′P″的值最小．本題中，由AB=3，BC=4可得

飲馬問題的拓展變式在中考、競賽與提前招生試題中屢屢出現.教師引導學生經歷拓展過程，對于激發學生學習數學的樂趣、提高思維與探索能力不無裨益.當然，我們也更加期待新的拓展與變式的出現．

4 總結歸納升華

通過一系列的探索可知，將軍飲馬問題的實質：(1)求最短路線問題，通過幾何變換找對稱圖形；(2)把點A,B在直線同側的問題轉化為在直線的2側的問題，化折線為直線；(3)利用“兩點之間線段最短”與“平行線之間垂線段最短”加以解決．

參 考 文 獻

[1] 李柱南.飲馬問題[J].湖南教育：數學教師，2008(6)：46.