利用壓縮變換解決競賽與自主招生中的橢圓問題

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(桐鄉市高級中學 浙江桐鄉 314500)

橢圓是到2個定點F1,F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡，是到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比等于常數e(0

而在壓縮變換視角下，橢圓是壓扁了的圓，利用這個角度，有時可以快捷地解題并看到問題的本質．

1 研究橫坐標(或縱坐標)之間的關系

在壓縮變換τ下，平面xOy上點P與原來x′O′y′平面上對應點P′的橫坐標相同，即xP=xP′．

(2009年清華大學自主招生試題)

圖1 圖2

還原成圓x′2+y′2=a2(如圖2).

(xP,yP)=λ(-xA,yR),

所以

?|AQ|·|AR|=2|OP|2

?|xQ+a|·|xA|=2|xP|2

?|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2.

(1)

設|O′R′|=d，由圓冪定理得

|Q′R′|·|A′R′|=d2-a2，

又d2+a2= |A′R′|2=

|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=

|A′Q′|·|A′R′|=d2-a2,

于是

|A′Q′|·|A′R′|=2a2，

即式(1)成立.

評注把橢圓還原成圓后，便可利用圓冪定理.

(1)求證：MN⊥AB；

(2)若弦PQ過橢圓的右焦點F2，求直線MN的方程.

(2012年全國高中數學聯賽貴州省預賽試題)

圖3 圖4

(1)證明MN⊥AB?xM=xN?M′N′⊥A′B′,

顯然，因為A′B′是直徑，所以

N′P′⊥A′M′,M′Q′⊥A′N′，

即B′是△A′M′N′的垂心，從而M′N′⊥A′B′.

又點P′,B′,R′,M′共圓，得

∠P′R′B′=∠P′M′B′，

即

從而

得

即

評注把橢圓還原成圓后，可利用圓中的角的關系證明相似.

2 研究直線的斜率

(1)證明：△PAB的內切圓的圓心在一條定直線上；

(2)若∠APB=60°，求△PAB的面積．

圖5 圖6

評注把橢圓還原成圓后，可利用垂徑定理.

3 研究封閉圖形的面積

(2013年全國高中數學聯賽山東省預賽試題)

圖7

評注把橢圓還原成圓后，可得到以半徑為腰的等腰三角形.

圖8

例5以原點O為圓心、分別以a,b(a>b>0)為直徑作2個圓.點Q是大圓半徑OP與小圓的交點，過點P作AN⊥Ox,垂足為N，過點Q作QM⊥PN，垂足為M，記當半徑OP繞點O旋轉時點M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2011年全國高中數學聯賽河南省預賽試題)

評注把橢圓還原成圓后,便可發現以原點為重心的三角形就是圓內接正三角形.