例談構造三角形在高中數學競賽中的應用

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(東陽中學 浙江東陽 322100)

三角形是平面幾何中最簡單的圖形之一.三角形的許多性質、定理，如內角和定理、邊角不等關系、余弦定理、正弦定理、面積公式等是解決問題的基本工具.高中數學競賽中的許多問題，可以根據已知條件轉化為某種特殊的三角形，即構造三角形來解決，這是數形結合思想在解題中的充分體現，需要解題者對題目中的條件認真分析、實現轉化，并通過豐富的想象力和創造力來完成構造.

1 構造三角形解求值問題

例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值.

(1991年全國高中數學聯賽試題)

解因為10°+50°+40°+80°=180°，所以可構造一個以60°,40°,80°為內角的△ABC，其3條邊長分別為a,b,c，如圖2所示.在△ABC中，運用余弦定理得

a2+b2-2abccos60°=c2，

即

a2+b2-ab=c2，

由正弦定理得

sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,

注：將正弦定理的結論a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入余弦定理結論得

sin2A=sin2B+sin2C-2sinAsinBcosA，

本例中sin280°+sin240°-sin40°sin80°=sin260°,恰為一個特例.

圖1 圖2 圖3

2 構造三角形求最值問題

解將已知式變形為

3 構造三角形證明不等式問題

圖4

例4正數a,b,c,A,B,C滿足條件：a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA

(第21屆全蘇中學生數學競賽試題)

分析抓住條件a+A=b+B=c+C=k，構造以k為邊長的正△MNP來解決.

證明構造以k為邊長的正△MNP，使得3條邊滿足條件MF=A,NE=B,PD=C,NF=a,PE=b,MD=c,如圖4所示，則

S△DMF+S△FNE+S△EPD

從而

aB+bC+cA

分析本題若用代數方法將不等式化簡，則比較繁瑣，觀察到當待證不等式右端小于等于0時，不等式顯然成立，而當右端為大于0時，以a,b,c為邊恰好構成一個三角形，而且右端的形式與海倫公式很接近.

證明當(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤0時，原不等式顯然成立.

要證明上式可利用函數y=sinx的凹凸性，因為函數y=sinx在x∈(0,π)上是凹函數，從而

注：例4和例5中聯想三角形中邊的關系構造三角形，充分利用三角形的面積公式解題.

圖5

4 構造三角形解數列問題

現在邊A0An上取n-1個點，設為A1,A2,…,Ai,…,An-1,滿足Ai-1Ai=ai(1≤i≤n),則A0An=Sn.于是對于A0An上任一點Ai，在△AA0Ai中,由余弦定理得

從而

5 構造三角形解方程

(2014年浙江省高中數學競賽試題)

分析由方程的形式特點，聯想勾股定理、余弦定理，可構造直角三角形.

圖6

本文主要介紹了幾例構造三角形解決的數學競賽問題，通過構造三角形，可以建立起各種數學知識之間的聯系與相互轉化，激發學生的興趣.但構造三角形解題并不是萬能的，這需要合理地分析題目中的條件，并聯想能否與三角形的有關性質產生聯系.