探求最佳策略 優(yōu)化學(xué)生思維
——“稱球問題”的教學(xué)課例及反思

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(秀州中學(xué)分校 浙江嘉興 314000)

數(shù)學(xué)經(jīng)典問題是在歷史長河中形成，并對數(shù)學(xué)的發(fā)展、應(yīng)用和教學(xué)等方面起過或仍起著重要作用的問題．?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)典問題往往由于其深刻性、趣味性，讓學(xué)生充滿新奇.通過數(shù)學(xué)經(jīng)典問題的研究，可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想．

“12球稱重問題”是一個適合初中學(xué)生研究的問題，是讓學(xué)生學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、代換等數(shù)學(xué)思想的好素材．在數(shù)學(xué)競賽課堂上，筆者經(jīng)過研究，決定從2個球的稱重開始引導(dǎo)學(xué)生研究，通過一個個精心設(shè)計的問題，激起學(xué)生的求知欲，在不斷地挑戰(zhàn)中探索稱球的方法．

1 課堂實(shí)錄

1.1 巧妙鋪墊，自然引入

師：同學(xué)們，在數(shù)學(xué)中，我們可以比較2個數(shù)的大小；在生活中，我們也可以比較2個量的大小．現(xiàn)在有2個球，如何比較它們的輕重？

生1：用手來掂量，用天平，用彈簧秤……

師：如果A球重于B球，B球重于C球，如何比較A球和C球的輕重？

生2：A球重于C球．

師：我們有沒有用到天平啊？

(全體學(xué)生笑了.)

師：要比較若干個球的輕重，除了用到天平等衡器外，我們也可以用數(shù)學(xué)方法，比如剛才就是用到了不等式中的“傳遞性”，這需要我們開動腦筋.現(xiàn)在有外觀相同的若干個球，其中有1個次品球，重量與正品球有細(xì)微的差別，手頭有一架沒有砝碼的天平，我們來研究如何用最少的次數(shù)來尋找次品．

(教師板書課題“稱球問題”.)

師：我們先來看問題，2個球中有1個次品，且已知次品偏重．(問題1)

生3：稱量1次，天平向下傾斜的一方為次品．

師：好．若3個球呢？(問題2)

生4：1次．

師：如何稱量？

生4：先任意稱量2個球，若平衡，則第3個球?yàn)榇纹罚蝗舨黄胶猓瑒t向下傾斜的一方為次品．

師：很好！若不知次品的輕重呢？(問題3)

生5：2次．

師：如何稱量？

生5：先任意稱量2個球，若平衡，則第3個球?yàn)榇纹罚瑢⒋纹泛驼贩Q量1次即可知次品的輕重；若不平衡，則說明第3個球?yàn)檎罚瑢⒄泛颓?個球中任意一球稱量1次，便可分析出結(jié)論．

1.2 適度拓展，拾階而上

師：很好！下面我們討論的問題都需要指出次品的輕重．下面看第4個問題，若有6個球呢(問題4)？

(教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考后討論，安靜的教室一下子熱鬧起來.)

生6：2次不行，至少3次．

師：說說你的方案．

生6：分3組，每組2個．把2個球放天平左邊，另2個球放右邊，若平衡，則次品在剩下的2個球中，再稱2次一定可找到次品并知輕重；若不平衡，則次品在已比較的4個球中；第2次稱時，可以分別拿下1個球，再分別放上2個正品，若平衡，則次品在拿下的2個球中，否則就在另外2個球中，再稱1次，必能找到次品并知輕重．

生7：我把6個球編號，分別記為1，2，3，4，5，6．把1，2號球放天平左邊，3，4號球放天平右邊，若平衡，則次品為5或6號球，再稱2次一定可找到次品并知輕重；若不平衡，將3，4號球分別換成5，6號球：(1)若平衡，次品為3或4號球；(2)若不平衡，次品為1或2號球，再稱量1次，可以找到次品并知輕重．

生8：生7的方法就是把2個球捆綁在一起，在解決問題3的基礎(chǔ)上，再稱量1次就可以了．

師：這3位同學(xué)都很棒！他們采用了“代換”的思想，生7還將球進(jìn)行編號，這為我們解決問題帶來了方便，生8將這個問題和問題3聯(lián)系起來，這引導(dǎo)我們解決問題要學(xué)會“轉(zhuǎn)化化歸”．“轉(zhuǎn)化化歸”，就是將一個陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，或者將一個未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題．

師：我們再來思考，能否減少稱量次數(shù)，或者在某些情況下減少次數(shù)？

生7：在我剛才的稱量方法中，若平衡，則似乎不能減少次數(shù)；若不平衡，可能可以減少次數(shù)……

生9：可以的，不妨設(shè)3,4號球的一側(cè)向下傾斜，將3號球取下，1號球移到右側(cè)，5號球放左側(cè)．若平衡，則說明3號球?yàn)榇纹非移兀蝗糇髠?cè)向下傾斜，則說明1號球?yàn)榇纹非移p，若右側(cè)仍向下傾斜則說明2號球偏輕或4號球偏重，需稱量第3次．

師：很棒！求最不利情況下的次數(shù)，也就是求得的次數(shù)必須能夠保證問題解決，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想以減少稱量的次數(shù)(包括局部減少稱量的次數(shù))是我們所追求的．生9采用這種創(chuàng)造性的方法在局部取得了很好的效果，希望同學(xué)們在后面的討論中再接再厲．

1.3 認(rèn)知沖突，體驗(yàn)過程

師：下面我們來看“12球稱重問題”，12個球中有1個次品且不知次品輕重，稱幾次可以找到次品并知輕重?(問題5)

生10：4次．

師：說說你的方案．

生11：將12個球分為3組，每組4個，按問題3的解決方法，稱2次可找到次品在哪一組并知輕重，再把4個球分2組，分別運(yùn)用問題1的解決方法即可，共4次．

(生11的回答博得一片掌聲.)

師：2位同學(xué)回答得很好，他們不但用自己的思考解決了問題，也充分運(yùn)用了前面的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的思想．請大家再思考一下，能否再減少次數(shù)呢？

(一石激起千層浪，學(xué)生積極思考……)

1.4 創(chuàng)生智慧，水到渠成

生12：我能夠在平衡的時候減少稱量次數(shù)，第2次稱量(1，2，3)與(9，10，11)．若平衡，則12號球?yàn)榇纹罚偻ㄟ^第3次稱量可知與正品的輕重；若不平衡，則次品在(9，10，11)中且知次品的輕重，用問題2的解決方法確定次品．

生13：在不平衡時，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，將5，6，7號球取下，1，2，3號球移到右側(cè)，9，10，11號球放左側(cè)．若平衡，則說明5，6，7號球之一為次品且偏重，還需稱量1次；若左側(cè)向下傾斜，則說明1，2，3號球之一為次品且偏輕，也還需稱量1次；若右側(cè)仍向下傾斜則說明4號球偏輕或8號球偏重，再需稱量1次即可．

生14：老師，我的方案與生13不一樣，在不平衡時，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，將左側(cè)球調(diào)整為(3，5，9,10)，右側(cè)球調(diào)整為(1，2，6,7)．若平衡，則說明4號球偏輕或8號球偏重，再稱1次即可；若左側(cè)向下傾斜，則說明1，2號球之一偏輕或5號球偏重，將1，2號球再比較1次即可；若右側(cè)仍向下傾斜則說明3號球偏輕或6，7號球之一偏重，將6，7號球再比較一次即可．

生15：老師，在不平衡時，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，接下來，我只需在天平2側(cè)各放3個球．將左側(cè)球調(diào)整為(3，4，5)，右側(cè)球調(diào)整為(1，2，6)．若平衡，則說明7，8號球之一為次品且次品偏重，再稱1次即可；若左側(cè)向下傾斜，則說明1，2號球之一偏輕或5號球偏重，將1，2號球再比較1次即可；若右側(cè)仍向下傾斜則說明3，4號球之一偏輕或6號球偏重，將3，4號球再比較一次即可．

1.5 反思總結(jié)，舉一反三

師：太好了！在同學(xué)們的共同努力下，我們不僅解決了這個問題，而且有了多種解法，在這些解法中，涉及到分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、代換等重要的思想方法，值得同學(xué)們用心去體會.

(學(xué)生談體會與感想.)

師：12個球改為39個球，又如何呢？留作同學(xué)們課后思考．稱球問題是一個非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，有興趣的同學(xué)可以就一般的n個球深入研究．

2 課后反思

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)思維實(shí)驗(yàn)課，以稱球問題為載體，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維為主線，通過精心設(shè)計問題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲．在課堂上通過教師的適時點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想，提升了數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變．

2.1 激發(fā)興趣，開放問題引入

本節(jié)課從一個開放性問題出發(fā)，激起學(xué)生思考．對于“如何比較2個球質(zhì)量的大小”有各種各樣的答案，學(xué)生往往從“衡器”的角度回答，但教師巧妙地將話鋒一轉(zhuǎn)，從“傳遞性”——數(shù)學(xué)思維方法的角度加以說明．如果僅僅從“衡器”的角度回答，這樣的課堂也許不是數(shù)學(xué)課了，數(shù)學(xué)課的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)該是數(shù)學(xué)，教師在使學(xué)生思維“急轉(zhuǎn)彎”的同時集中到“數(shù)學(xué)的課堂上”．

2.2 由易到難，體現(xiàn)螺旋上升

根據(jù)范德維爾的理論，好的數(shù)學(xué)問題對學(xué)生應(yīng)該是具有挑戰(zhàn)性的，也是可以達(dá)到的．這需要教師精心設(shè)計問題，本節(jié)課從5個環(huán)環(huán)相扣問題的提出到解決，以“問題鏈”的形式出現(xiàn)，到最后還是以問題結(jié)束，這些問題的設(shè)置，呈螺旋上升趨勢．這些問題既為學(xué)生解決“12球稱重問題”作好了鋪墊，又有利于學(xué)生在問題解決后升華思維，提高能力．

2.3 適時引導(dǎo)，探求最佳策略

在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生主動探求最佳解題策略，在學(xué)生思維受挫的情況下，教師巧妙地將解決問題的難點(diǎn)逐步化解，使學(xué)生能通過自己的努力在從無解法到有想法，從有想法到具體落實(shí)，從局部優(yōu)化到整體優(yōu)化的過程中激發(fā)了探索的欲望，有效地找到了問題解決的方法，品嘗到了成功的喜悅．

2.4 體驗(yàn)過程，滲透數(shù)學(xué)思想

本節(jié)課從2個球的問題出發(fā)，進(jìn)而探索3個球、6個球到12個球的問題，最后布置了39個球的問題作為課外作業(yè)，同時提出n個球的問題供學(xué)有余力的學(xué)生思考，讓學(xué)生體驗(yàn)和了解科學(xué)的探索過程．在問題的解決過程中，滲透了多種數(shù)學(xué)思想和方法：如在稱量過程中，要根據(jù)天平的傾斜進(jìn)行分類討論；球由少到多體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法；將6個球分3組，轉(zhuǎn)化為3個球的問題體現(xiàn)了化歸的思想；稱12個球，第一次8個球不平衡，將天平左右盤上的部分球與正品球進(jìn)行輪換對調(diào)，體現(xiàn)了代換的思想；從球的數(shù)目增加到n個球問題的提出，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)歸納法思想做好準(zhǔn)備．

2.5 師生合作，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

在本節(jié)課中，教師為學(xué)生營造了一個有利于創(chuàng)新思維發(fā)展的良好環(huán)境，課內(nèi)師生、生生多邊互動.在教師的問題引導(dǎo)下，學(xué)生自主探求、合作學(xué)習(xí)，在討論中發(fā)揮他們思維的潛能，競相發(fā)表各自的意見，在學(xué)生的積極參與和主動探索中成功地解決“12球稱重問題”，真正做到了“帶著問題走進(jìn)教室，帶著問題走出教室”，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，提高了學(xué)習(xí)效率．