妙用構造 巧解賽題

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(諸暨中學 浙江諸暨 311800)

所謂構造的思想方法，是指在對問題進行透徹分析、對其實質進行深刻了解的基礎上，借助于邏輯分析或長期積累的經驗，發揮高度的想象力和創造性，將問題從原來的模式轉化為更能反映其本質特征的新模式的思想方法．構造思想是一種很活躍的創造性思想方法，它能溝通數學各個不同的分支，實現跨度極大的問題轉化．應用構造思想解題的關鍵有2個：一是要有明確的方向，即構造的目的；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合．構造的方法有很多，其中以構造函數、方程、圖形、模型、算法等最為常見．本文試通過案例敘述構造法在數學競賽中的應用．

1 構造方程，多元問題主元化

方程是解數學題的一個重要工具，根據數學題設中量的關系，構造出方程，使原來復雜的數學問題變得直觀合理、簡潔易解．數學題中的有些問題表面上看似乎與方程無關，但通過分析題中各個量之間的關系就可以構造出方程，然后通過方程來巧解數學問題．

例1求方程x3+y3-x2y2-(x+y)z=0的所有解(x∈N*,y∈N*,z∈N)．

(2013年全國高中數學聯賽吉林省預賽試題)

分析原方程無論是看作關于x的方程還是關于y的方程，都是三次方程，不易分解，難以下手，但注意到

x3+y3= (x+y)(x2-xy+y2)=

(x+y)3-3xy(x+y)，

若記a=x+y,b=xy,則原方程可看作關于b為主元的二次方程，即

b2+3ab-a2(a-z)=0．

考慮到x,y,z都是整數，從而

Δ=9a2+4a2(a-z)=a2(4a+9-4z)

為完全平方數．又4a+9-4z是奇數，故可設

4a+9-4z=(2t+1)2，

則

a=t2+t+z-2，b=a(t-1) (t≥2).

因為(x-y)2=(x+y)2-4xy=a2-4a(t-1),且

[a-2(t-1)-2]2≤a2-4a(t-1)<

[a-2(t-1)]2,

顯然[a-2(t-1)-1]2≠a2-4a(t-1),所以

[a-2(t-1)-2]2=a2-4a(t-1)，

從而t=2,z=0，即x=y=2,z=0.

本題通過換元，不斷地轉換原方程的形式，構造出結構更為簡單的方程，使問題得到解決.

2 構造函數，隱性問題顯性化

函數是中學數學知識的一個中心，函數圖像可以看作是研究函數性質的一個工具，進而解決一類相關問題．構造函數法是運用函數概念和性質構造輔助函數進行解題．構造函數的前提是熟悉函數的概念，牢固掌握各類初等函數的性質，構造過程要求我們選擇恰當的函數，并準確地運用函數性質，以便快捷無誤地解決原問題．

例2設實數a,b滿足3a+13b=17a,5a+7b=11b，證明：a

(2001年羅馬尼亞奧林匹克數學競賽試題)

分析3個底數兩兩互素且指數不全相等的指數方程很難求解，考慮將其放縮為指數相同的不等式．先假設a≥b，則13a≥13b,5a≥5b，由3a+13b=17a，得

3a+13a≥17a，

即

同理由5a+7b=11b，得

5b+7b≤11b，

即

從而b>1.因此a<1

3 構造向量，表象問題本質化

向量是非常有用的一個工具，它具有幾何形式和代數形式的雙重身份，對一些比較復雜的數學問題，若能把它轉化為向量，用向量的性質來解決問題，則會事半功倍．

例3設a,b,c為正實數，且滿足abc=1，試證明：

(第36屆IMO試題)

分析原不等式等價于

根據不等式左邊的特征，聯想到向量數量積，可以構造三維向量

根據向量性質|m·n|≤|m||n|，可得

4 構造圖形，代數問題幾何化

用幾何圖形來解決問題是構造思想的一個重要方面．對于本身不具備圖形的一些數學問題，由于它的條件中數量關系有明顯的幾何意義或通過某種方式可以將問題轉化成幾何圖形，則可以借助幾何圖形的性質來研究，從而獲得解決．它的實質就是“數轉化為形”，借助圖形來實現解題的目標．

例4已知a,b,c,d是正實數，求證：

(第52屆白俄羅斯奧林匹克數學競賽試題)

又直線PQ的方程為

(b+d)x-(a+c)y+(bc-ad)=0，

從而原點到直線PQ的距離為

由|OP|≤|OR|+|RP|,|OQ|≤|OR|+|RQ|得

|OP|+|OQ|≤ |RP|+|RQ|+2|OR|=

|PQ|+2|OR|,

得證．

5 構造“算法”，無窮存在型問題步驟化

構造算法主要指直接設計、構造出一種可行的計算、作圖的程序步驟,在有限次內能夠實現所構造的對象．這樣，不僅證明了存在性，而且可以按照程序在有限步驟內確定存在的對象．我們借用“算法”這一術語，不妨稱之為構造“算法”．

例5設正實數a，b,對于任意的n∈N*，設xn為[an+b]在十進制中各位數字之和，證明：序列{xn}包含一個由常數構成的子列．

(2002年羅馬尼亞奧林匹克數學競賽試題)

10k+a,

即

10k=[ank+b]≤10k+[a].

當k足夠大時，有10k-1>a．因此xnk是集合{0,1,2,…,[b]}中的某個數t的各位數字之和加1．因為k可以取無窮多個值，而t是有限的，所以有無窮多個k，使得[ank+b]的各位數字之和相同．

6 構造實際操作模型，非常規問題模型化

在數學競賽中有很多特殊模型，在解一些非常規題時，我們需要拓展思維，合理聯想，為題目臨時建立恰當的解題模型．這種構造方式是將問題中的條件、數量關系，在已構造的模型上實現并得到解釋．這樣就實現了問題的證明,或轉化為在所構造的“模型”上相應問題的證明．

例6一條鏈子上有2k顆白珠子和2m顆黑珠子．若將這條鏈子剪斷把珠子均分給2個人，每人得k顆白珠子和m顆黑珠子，問至少要剪幾刀才能保證上述分法能實現．

(2000年以色列奧林匹克數學競賽試題)

分析選定一顆白珠子將其編號為1，然后按順時針方向依次給每顆珠子編號：2,3,4，…，直到最后一顆，編號為2(k+m)，然后給每一顆珠子編組：1號珠子，連同它后面的k+m-1顆珠子，共k+m顆珠子編為一組，稱為1號組；2號珠子，連同它后面的k+m-1顆珠子編為2號組;…共2(k+m)組，每組均有k+m顆珠子．且滿足：(1)每組中的白珠子不可能都多于k顆；(2)相鄰2組中白珠子數目最多相差1．現在假設沒有一組的白珠子數目為k．由條件(1)知，必存在2個相鄰組A,B，A中白珠子數小于等于k-1，B中白珠子數大于等于k+1，即A和B的白珠子數至少相差2，矛盾！因此，必有某組恰好含有k顆白珠子和m顆黑珠子，把這一組2頭剪下來即可．故至少剪2刀.

7 構造特例，不真問題證明簡單化

為了證明某種對象的存在性，找到這種對象的一個特例，即能實現證明．另外為了證明一個命題不真，也只需構造一個特例——“反例”說明即可．選擇題設條件中特殊、極端的情形，常常是構造特例與反例的關鍵．

例7集合A={n!+n|n∈N*}，集合B是集合A對N*的補集．問：是否存在各項都在集合B中的無限項等比數列？說明理由．

分析首先考慮最特殊的等比數列，例如{an}等，不符合；接著考慮{a·bn}這樣的等比數列，如：3,6,12，…,3×2n-1,…符合題意．下面只要用反證法證明：此數列中的任一項均不在集合A中即可．設

3×2n-1=k!+k=k[(k-1)!+1],

則

k|3×2n-1,

從而k=1,2,3,6,2i-1，3×2i-1(3≤i

易驗證k=1,2,3,6，均不符合.

若k=2i-1(3≤i

3×2n-1=2i-1+(2i-1)！

即

3×2n-i=1+(2i-1-1)!,

式子2邊同時模3，得0≡1+0(mod 3)，矛盾！

若k=3×2i-1(3≤i

3×2n-1=3×2i-1+(3×2i-1)!

即

2n-i=1+(3×2i-1-1)!,

式子2邊同時模2，得0≡1+0(mod 2)，矛盾！

故數列{3×2n-1}中的任一項不能寫成k!+k的形式，即這樣的等比數列存在．

圖1

例8證明：對每個自然數n(n≥3),都能夠在平面上找到滿足下列2個條件的n個點：

(1)任意2個點之間的距離都是無理數；

(2)任意3個點都是面積為有理數的非退化三角形的頂點．

(第28屆IMO試題)

分析要在平面上找滿足題意的n個點，不妨在我們比較熟悉的曲線或曲線組合上去找，例如在拋物線y=x2上選n個點Pi(i,i2)(i=1,2,…,n)，這n個點滿足題設的2個條件，驗證如下：

(1)任意2個點Pi,Pj之間的距離是

(2)由于拋物線是凹的，故任意3個點Pi,Pj,Pk都不共線,△PiPjPk為非退化的,從而

顯然S△PiPjPk是有理數．

筆者例舉了一些常見的構造法，當然還可構造數列、復數、對偶式、不等式、恒等式等等，而且構造法也不是上述問題的唯一解法，即使對同一問題還可從不同角度去構造．構造法體現了數學的創新思維，巧在“構造”，難也在“構造”，它要求學生針對題目的特征、對掌握的知識進行整體分析，構造出基于問題又在思維上有突破的方法，這是對學生思維方式的極好挑戰．因此，在解題教學時，教師若能啟發學生從多角度、多渠道進行聯想,則能得到許多構思巧妙、新穎獨特、簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力．