高中數學競賽訓練題

一.選擇題

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A．2 014 B．2 013 C．1 007 D．1 006

( )

( )

A．-55 B．-45 C．-35 D．-25

( )

5．正數M=1！×2！×3！×…×10!的正因數中共有完全立方數

( )

A．468個 B．684個 C．846個 D．648個

6．若n為正整數，則方程nx=xn的實數解個數的所有可能值之和是

( )

A．5 B．6 C．7 D．8

( )

( )

9．若對任意的△ABC，只要p>0,q>0，就有psin2A+qsin2B>pqsin2C，則p+q的最大值為

( )

10．一名攝影師在一次聚會中給8個人拍了一些照片，任意2個人恰出現在一張照片中，每張照片可以是2個人合影，也可以是3個人合影，則攝影師至少要拍照片的張數是

( )

A．12 B．11 C．10 D．3

二、填空題

11．若2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，則2c的最大值為______.

12．稱4個面均為直角三角形的三棱錐為“四直角三棱錐”.若在四直角三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠SBC=90°，則另一個面的直角是______.

14．已知關于x的方程x3-4x2+5x+a=0(a∈R)有3個實數根x1,x2,x3，則min{x1,x2,x3}取最小值時,a的值為______.

三．解答題

16．設a≥0,b≥0,c≥0，且a+b+c=1，求a2b+b2c+c2a+abc的最大值.

17．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線l與x軸的交點為M,過l上一點P作拋物線C的2條切線，切點分別為A,B.

(1)證明：|PF|2=|AF|·|BF|；

參考答案

1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C

8．C 9．B 10．A

16．解當a>0,b>0,c>0時，不妨設a≤b≤c，則c(b-a)(b-c)≤0,從而

b2c+c2a≤abc+c2b,

即

a2b+b2c+c2a=abc≤a2b+c2b+2abc=

b(a+c)2=b(1-b)2≤

當a,b,c中有一個為0時，不妨設a=0，則b+c=1，從而

a2b+b2c+c2a+abc=b2c=(1-c)2c≤

a2b+b2c+c2a+abc=0.

17．(1)證明易知拋物線的焦點F(1，0)，準線l：x=-1.設P(-1,t)，A(x1,y1),B(x2,y2),則過點A的切線方程為

y1y=2(x+x1)；

過點B的切線方程為

y2y=2(x+x2).

代入點P的坐標，得

從而直線AB的方程為

ty=2(x-1).

得

從而

社科院金融研究所法與金融研究室副主任尹振濤稱，設立理財子公司，在為打破剛性兌付困局提供制度保障的同時，也為商業銀行今后開展理財業務提供了更多的優勢。“無論是允許理財子公司發行的公募產品可以直接投資股票市場，還是擴大理財代銷和合作機構的范圍，都讓理財子公司這張牌照價值提升，更具競爭力。”

x2-(2+t2)x+1=0.

由韋達定理知x1+x2=2+t2，x1x2=1，

故PA⊥PB.

當t=0時，點M與點P重合，此時△PAB為等腰直角三角形，也有PF⊥AB,PA⊥PB.

綜上所述，PF是Rt△PAB斜邊AB上的高，故|PF|2=|AF|·|BF|成立.

從而

解得t=2.此時P(-1，2)，直線AB的方程為y=x-1.

由對稱性知，當t<0時，P(-1，-2)，直線AB的方程為y=-x+1，也滿足題意.

綜上所述，點P的坐標為(-1,2)或(-1,-2)，直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.

an-5an-1+an-2=0,(1)

即

an=5an-1-an-2(n≥3).

由式(1),得

an≡5an-1-an-2≡-an-2(mod 5)，

從而an≡-an-2≡-(-an-4)≡an-4(mod 5),

于是

a2 014≡a2≡3(mod 5).

由式(1)，又得

an≡an-1+an-2(mod 2)，

從而an≡ (an-2+an-3)+an-2(mod 2)≡

an-3(mod 2),

于是

a2 014≡a1≡1(mod 2),

因此

a2 014≡3(mod 10)，

即