由特殊到一般的探究

● (陜西師范大學數學與信息科學學院 陜西西安 710062)

本文呈現一類三角求值問題的推廣探究過程，除體現特殊與一般的數學思想外，還滲透有數形結合、分類討論、函數與方程等多種數學思想，是進行數學思想方法教學的一個良好載體．

1 特殊問題的解決

有一類熟知的三角求值問題：已知三角形中2個內角的函數值，求第3個內角的函數值．如

分析先弄清題目的條件和結論，然后溝通條件與結論的聯系，得出解法．

(1)題目有3個條件：

條件1在△ABC中．由此可知0

(2)題目的結論是求cosC的值．

(3)溝通題目的條件與結論的聯系．由cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)，得

cosC=sinAsinB-cosAcosB.(1)

可見，只需由sinA,cosB求出cosA，sinB,便可求出cosC的值．給出以下2種解法：

從而

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(2)

將式(2)移項，2邊平方，整理得關于cosC的二次方程

解得

圖1

說明如圖1所示，cosC的2個解分別可在△AB1C,△AB2C中求得，由余弦定理可驗證其正確．

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(3)

圖2

說明如圖2所示，例2也可以在△ABC中用余弦定理求解，在此不再贅述．

從上述求解過程可以看到，由sinA到cosA有2個可能的取值，但這2個值能不能都取到還需要進一步討論．更一般地，當sinA=m，cosB=n時，cosC是不是有解？有幾個解？具體數值是什么？就更加需要抽象的討論了，這是一個很有探究價值的問題．

2 一般情況的探究

例3在△ABC中，sinA=m，cosB=n(0

下面給出的2種思路都是數形結合并分類討論，但思路1重在幾何，思路2重在代數．

思路1數形結合討論已知條件中的角．

(1)思路分析.

關鍵點1確定cosA．

由于A為三角形的內角，對每一個m∈(0,1]，有m=sinA=sin(π-A)，故內角A最多有2個取值，記為A1,A2(如圖3，其中B1=B2)，滿足

關鍵點2保證A,B能在同一個三角形內．

由A+B+C=π知，A,B在同一個三角形內的充要條件是0

下面只需討論A1+B,A2+B與π(平角)的關系，便可確定Ai(其中i=1，2)與B是否在同一個三角形內，以及有幾個Ai(其中i=1，2)與B在同一個三角形內．

(2)討論A1=A2的情況．

圖3 圖4

(3)討論A1≠A2的情況．

情況3若A2+B<π，則0

情況4若0

情況5若π≤A1+B，則π≤A1+B

(4)相關結論．

分別把情況1和情況4合并，把情況2和情況5合并，可得：

結論3當A1

思路2代數方法討論二次方程中的正根．

(1)思路分析．

第1步：構造一個二次方程，求出它的2個實根．

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(4)

(5)

把式(5)，式(6)代入式(4)，得關于t的二次方程

(7)

(8)

所以方程(7)恒有實根(包括等根)，解得

(9)

其中t1≤t2.接下來只需討論t1,t2有無正根,正根能取到幾個，并把正根代入式(5)便可求出cosC．

第2步：對t1,t2取正值的情況分類討論．

基本思路是對二次方程(7)中t1,t2的表達式作二級分類：先把t1,t2分為相等的根和不等的根，然后再分為正根與非正根，結合題目所給的m,n(可以先討論m后討論n)進行討論，其邏輯結構如下：

(2)討論t1=t2的情況．

(3)討論t1≠t2的情況．

若t1≠t2，則由式(8)或式(9)知m≠1，得00，或t1≤0

這時，方程(7)只有1個正根t2>0，對應方程(4)的cosC只有1個解．把式(9)代入式(5)可求得

(4)相關結論．

分別把情況1和情況4合并，把情況2和情況5合并，可得：

圖5 圖6 圖7

如果把已知條件{(m,n)|0

由上面的一般性結論，還可以編擬出各種題目用于不同的場合(略).