例說2道概率題目的深層剖析

● (玉門市第一中學 甘肅玉門 735211)

自2010年甘肅省實施新課程以來,“條件概率”便進入了高中數學.4年來,大部分數學教師已講授過該內容,也有一部分教師初次學習并講授“條件概率”等內容.面對新的問題,因缺少經驗,在教學過程中他們像學生一樣容易犯種種錯誤.為了有效應對在“條件概率”教學中發生的各種困局,下文舉2個例子深度剖析原因,以饗讀者.

1 高考題目參考答案中的“·”

在高三集體備課會上,一個偶然的機會,教師1提出了2012年安徽省數學高考理科試題第17題的參考答案是錯誤的.同時,他對參考答案進行了錯誤分析,并給出了自己的解法.

1.1 題目及參考答案

例1某單位招聘面試,每次從試題庫隨機調用一道試題,若調用的是A類型試題,則使用后,該試題回庫,并增補一道A類試題和一道B類型試題入庫,此次調題工作結束;若調用的是B類型試題,則使用后該試題回庫,此次調題工作結束.試題庫中現共有m+n道試題,其中有n道A類型試題和m道B類型試題,以X表示2次調題工作完成后,試題庫中A類試題的數量.

(1)求X=n+2的概率;

(2)(略).

解(1)記“第i次調題調用到A類試題”為事件Ai(i=1,2)，則

1.2 教師1對參考答案的分析及提供的解法

接著,教師1提供了自己的答案如下:

將調題工作按首次是否調用A類試題分為2類:(1)若首次調用A類試題,則第1次調題有n種方法,第2次調用試題有m+n+2種方法;(2)若首次調用B類試題,則第1次調題有m種方法,第2次調用試題有m+n種方法,故2次調題工作,共有n(m+n+2)+n(m+n)種方法.當X=n+2時,調題方法數為n(n+1),依古典概率模型有

P(X=n+2)=P(A1A2)=

由上可知,高考試題所提供的答案是錯誤的,原因是將X=n+2時的概率錯誤地認為P(A1)·P(A2),忽視了判斷事件A1與事件A2的相互獨立性(只有當2個事件相互獨立且都發生時,計算概率才用“·”).

1.3 對以上2種解法的深層剖析

初看教師1對參考答案的分析與提供的解答,合情合理,天衣無縫,令全體教師有口難辯.頓時,時間像停止了一樣,但大家覺得高考答案不可能有誤,那問題出在哪里呢?會后,經筆者仔細分析,過程如下：

先討論教師1提供的“答案”,他將調題工作分為2類,首次調用A類試題和首次調用B類試題.依分類加法計數原理共有n(m+n+2)+n(m+n)種方法,而滿足X=n+2的方法有n(n+1)種,由古典概率模型可得

在該過程中利用了“分類加法計數原理”與“古典概率模型”這2個概念,為了清楚無誤地解說過程,我們從概念出發,從中剖析問題的根源.

分類加法計數原理完成一件事有2種不同方案：在第1種方案中有m種不同的方法;在第2種方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有m+n種不同的方法(2種不同方案中的方法數互不相同).

古典概率模型我們將具有以下2個特點的概率模型稱為古典概率模型：

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;

(2)每個基本事件出現的可能性相等.

對于分類加法計數原理,該教師做到了2種不同方案中的方法數互不相同,對于古典概率模型的特點(1)不言而喻.而對特點(2),本題共有n(m+n+2)+n(m+n)個基本事件,每個結果發生的可能性是否相同呢?經仔細研究,舉例如下:

記“第1次調用A類試題”為事件A1,“第2次調用A類試題”為事件A2,“第1次調用B類試題”為事件B1,“第2次調用B類試題”為事件B2,因為事件A1與事件A2,事件B1與事件B2為條件關系,所以

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=

由此可見,P(A1A2)≠P(B1B2),因此首次調用A類試題和首次調用B類試題所對的基本事件發生的可能性不相等,不滿足古典概率模型的基本概念.

再討論教師1對“參考答案”的分析,在參考答案中事件A1與事件A2不相互獨立,故P(A1A2)≠P(B1B2)成立,而事件A2是事件A1發生的條件下發生的,于是利用條件概率公式有

成立.

教師1沒有認識到條件概率公式,誤以為是使用公式

通過以上分析，對于“·”的使用,我們有了更清楚的認識：當事件A,B相互獨立時,

P(AB)=P(A)·P(B);

當事件A發生的條件下,事件B發生時,

P(AB)=P(A)·P(B|A).

2 課本例題解答過程中的“10”與“9”

同樣,在集體備課會上,教師2提到人教A版《數學選修2-3》第53頁：例2中的第(1)小題解答中“10”與“9”可能寫反了.大家隨即展開討論,現將過程整理如下：

2.1 例2及解

例2一張儲蓄卡的密碼共有6位數字,每位數字都可以從0～9中任選1個,某人在銀行自動提款機上取錢時,忘記了密碼的最后1位數字,求:

(1)任意按最后一位數字,不超過2次就按對的概率;

(2)略.

2.2 教師2對例2的解的分析及質疑

2.3 對以上質疑的深層剖析

3 感悟

面對新增加的知識要提前做好培訓工作.2011年和2012年暑假教育部組織專家輪流對甘肅省教師進行了新課程培訓工作,在教育教學理念等方面得到不斷提升,但在具體知識的細節方面,沒能得到細致指導.作為學校單位,雖然在教研組集體研究學習,也未能預防該類問題的發生.

當然,在平時的教學過程中,應提倡勤鉆細研,在面子前講真理.本文例子中2位教師都從大家不起眼的細節出發,通過努力推敲,面子前講真理,敢于發表所想,才能給予大家研討的機會,在研討中理解知識,形成、建立和交流數學知識,相互學習,共同提升,改進做法,才能提高教學成績.

最簡單的基本思考,最原始的錯誤理解,也許是每個人學習過程中都需經歷的,只要我們善于思考,從問題的概念、原理等出發遵守規則進行推理,搜集文本,挖掘資源,捕捉課堂中鮮活的事例,由點到面,由此及彼,豐富課堂教學內容,提升課堂厚度.唯此,才能使自己的專業得到快速成長.