易混易錯的條件概率問題

● (黃陂一中盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

條件概率是《新課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施后新增加的內(nèi)容，它較以往互斥事件和獨(dú)立事件的概率求法有很大區(qū)別，且與獨(dú)立事件容易混淆.很多學(xué)生因此辨別不清，特別是條件概率中的條件變復(fù)雜時，學(xué)生更是無所適從，理不清頭緒，自然成了難點(diǎn).條件概率已成為近幾年高考的新熱點(diǎn)，而且難度不斷加深，題目也由選擇、填空題逐步變化在解答題中呈現(xiàn)，應(yīng)該引起足夠的重視！據(jù)高考結(jié)果統(tǒng)計，學(xué)生在條件概率問題上的得分情況并不樂觀,筆者就如何辨析及求解條件概率問題整理如下，以幫助學(xué)生走出迷霧.

1 定義回顧

設(shè)A和B為2個事件，P(A)>0，那么，在A“已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的條件概率P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．定義為

思考13張獎券中只有1張能中獎,現(xiàn)分別由3名同學(xué)無放回地抽取,問最后1名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是多少？

思考23張獎券中只有1張能中獎,如果在第1名同學(xué)沒有抽到中獎獎券的條件下，最后1名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是多少？

正解用Ω表示3名同學(xué)可能抽取的結(jié)果全體，Ω={YNN,NYN,NNY}．既然已知事件A必然發(fā)生，那么只需在A={NYN,NNY}的范圍內(nèi)考慮問題，在事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，等價于事件A和事件B同時發(fā)生，即AB發(fā)生．而事件AB中僅含一個基本事件NNY，因此

問題的關(guān)鍵是條件概率發(fā)生的樣本空間發(fā)生了變化，由Ω={YNN,NYN,NNY}，得A={NYN,NNY}.

2 典例剖析

例1某市準(zhǔn)備從7名報名者(其中男4人，女3人)中選3個人參加3個副局長職務(wù)的競選.若選派的3個副局長依次到A，B，C局上任，求

(1)所選3個人中A局為男副局長的概率；

(2)所選3個人中A局為男副局長，B局為女副局長的概率；

(3)A局是男副局長的情況下，B局為女副局長的概率.

分析此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，能夠辨別獨(dú)立事件與條件概率.第(2)和第(3)小題容易混淆，第(2)小題中“A局為男副局長，B局為女副局長”是相互獨(dú)立事件同時發(fā)生，第(3)小題中“A局是男副局長的情況下B局為女副局長”考查條件概率，正確運(yùn)用公式求解即可.

(2)記D=A局是男副局長，E=B局為女副局長，事件D與E相互獨(dú)立，則

(3)方法1記D=A局是男副局長，E=B局為女副局長,則

方法2記D=A局是男副局長，E=B局為女副局長,則

方法3(縮小樣本空間)既然A局是男副局長，只需考慮B局和C局，B局只能從3個女副局長中選1個，C局任意選，則

評注獨(dú)立事件同時發(fā)生概率公式P(AB)=P(A)P(B),條件概率求解的一般方法為：

(3)縮小樣本空間.

例2在一個盒子中有大小一樣的20個球,其中10個紅球,10個白球,每個人從盒子中摸出1個球，摸后不放回，然后下一個人接著摸球.

(1)求第1個人摸出1個紅球的概率；

(2)求第1個人摸出1個紅球,緊接著第2個人摸出1個白球的概率；

(3)求在第1個人摸出1個紅球的條件下,第2個人摸出1個白球的概率.

解記“第1個人摸出紅球”為事件A，“第2個人摸出白球”為事件B，則

方法3(縮小樣本空間)第1次摸出的球不再考慮，第2次只能從剩余的19個球中去摸，摸到白球的可能有10種，則

評注以上2道概率題模型一樣，第(2)和第(3)小題的關(guān)鍵都在于弄清獨(dú)立事件和條件概率的區(qū)別.P(B|A)與P(AB)的概率有本質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別，聯(lián)系是事件A，B都已經(jīng)發(fā)生，區(qū)別是樣本空間不同：在P(B|A)中，事件A成為新的樣本空間，在P(AB)中，樣本空間仍為原樣本空間.

以上3種方法對所有條件概率問題都適用嗎？不一定.

圖1

例3如圖1，四邊形EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)=______；(2)P(B|A)=______.

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

方法2(縮小樣本空間)即落在正方形區(qū)域的面積與扇形中的正方形的面積之比，

例4根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表1所示：

表1 降水量對工期的影響

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9.求：

(1)工期延誤天數(shù)Y的分布列；

(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率.

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)由已知條件和概率的加法公式知

P(X<300)=0.3,

P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=

0.7-0.3=0.4,

P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=

0.9-0.7=0.2,

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1,

從而Y的分布列如表2所示：

表2 Y的分布列

(2)由概率的加法公式得

P(X≥300)=1-P(X<300)=1-0.3=0.7.

又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=

0.9-0.3=0.6,

從而由條件概率，得

P(Y≤6|X≥600)=P(X<900|X≥300)=

3 能力提升

例5某中學(xué)為了迎接即將在武漢市召開的世界中學(xué)生運(yùn)動會，學(xué)生籃球隊準(zhǔn)備假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個籃球，其中3個是新球(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過1次的球)．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個球，用完后放回．

(1)設(shè)第1次訓(xùn)練時至少取到1個新球，第2次訓(xùn)練也取到1個新球的概率；

(2)在第1次訓(xùn)練時至少取到1個新球的條件下，求第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球的概率．

分析此題第(1)和第(2)小題仍然是獨(dú)立事件與條件概率的區(qū)別，但特殊的是條件概率中“條件”變復(fù)雜了，要能夠正確運(yùn)用公式求解.

解(1)設(shè)“第1次訓(xùn)練時取到i個新球”為事件Ai(i=1,2,3),則

設(shè)“從6個球中任意取出2個球，恰好取到1個新球”為事件B，則“第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球”就是事件A1B+A2B，而事件A1B,A2B互斥，于是

P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B).

由條件概率公式，得

所以，第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球的概率為

(2)方法1設(shè)A=在第1次訓(xùn)練時至少取到1個新球，C=第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球,則在第1次訓(xùn)練時至少取到1個新球的條件下，第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球的概率為P(C|A).因?yàn)?/p>

又

所以

方法2設(shè)A=第1次訓(xùn)練時至少取到1個新球,C=第2次訓(xùn)練時恰好取到1個新球,則