“定論問題”的類型與求解策略

● (海門中學初中部 江蘇海門 226100)

在近幾年各地的數學中考中，常常出現這樣一類問題：某些代數式、函數式、方程、坐標或幾何問題等，無論其中的字母或待定系數如何取值、圖形位置如何變化、動點如何運動等，問題始終保持原有的性質、結論不變(即問題的性質、結論與字母或待定系數的取值、圖形位置變化無關)，不妨稱之為“定論問題”.本文以中考試題為例，對其類型與求解策略作一闡述.

1 “定論問題”的類型

“定論問題”一般有：求代數式的值、特定條件下待定系數的值(范圍亦或系數間關系式)、定點坐標、定直線解析式、特設條件下的一般函數解析式；證明圖像恒過定點、點恒在定直線上；判斷數學概念是非問題；探究說明某幾何量為定值、圖形恒有某確定的位置關系、某特定的性質等類型.

2 “定論問題”求解策略

2.1 利用主元與無關思想

把多元代數式按某個字母(即取值與之無關的字母)為主元整理，按無關思想令主元的各系數為0，求出待定系數的值，則問題獲解.

例1若代數式(x2+ax-2y+5)-(bx2-2x+6y-1)的值與字母x的取值無關，求(a+b)2 013的值．

分析這是確定系數值,進而求代數式值的問題.把原式化簡整理為以x為主元的代數式,得

原式=(1-b)x2+(a+2)x-8y+6.

因為原式取值與x無關，所以上式中不含x，從而

1-b=0且a+2=0，

解得

a=-2，b=1，

故

(a+b)2 013=-1．

2.2 配方

通過配方，以其“以偏概全”包羅取值的任意性、無限性之功能，結合非負數的性質使定論問題獲解.

例2已知二次函數y=x2+ax+a-2.

(1)證明：不論a取何值，拋物線y=x2+ax+a-2的頂點Q總在x軸的下方；

(2)略.

(2002年浙江省杭州市數學中考試題)

分析證明拋物線頂點的縱坐標為負即可．易得拋物線的頂點為

其縱坐標配方得

因此，不論a取何值，拋物線的頂點總在x軸的下方．

說明本題還可以用下面所述的“方程理論”求解(因為拋物線開口向上，所以只需結合配方法證明判別式Δ>0即可).

2.3 取特殊值

通過取特殊值(雖具有任意性,但一般取簡單且易于求解的值)推理運算，根據“一般與特殊”的關系化抽象為具體、化繁雜為簡單，從而使定論問題獲解.

例3無論a取什么實數，點P(a-1,2a-3)都在直線l上，點Q(m，n)是直線l上的點，則(2m-n+3)2的值等于______.

(2012年江蘇省南通市數學中考試題)

分析這是求值類問題.既然點P在直線l上，與a取值無關，不妨取a=0,得P1(-1，-3)；取a=1,得P2(0，-1).由此得直線l的解析式為

y=2x-1.

因為Q(m,n)在直線l上，所以

2m-n=1，

故

(2m-n+3)2=16.

說明本例還可用主元與無關思想及下面所述的消元法、方程理論、多項式相等理論求解.

2.4 消元

構造聯立函數式，通過消元確定定論問題所求的解析式.消元法對于求定直線等函數式類定論問題十分簡捷.

例4拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)對任意實數a，其頂點都在某直線l上,求直線l的解析式.

(2003年山東省濟南市數學中考試題)

說明本例也可以用特殊值法求解，但沒有消元法簡捷.

2.5 利用方程理論

(1)關于x的一元一次方程ax=b有無數個解?a=b=0.

(2)關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(或二次函數y=ax2+bx+c，其中a≠0)有2個不相等的實數根(或二次函數與x軸有2個交點)?Δ>0；有2個相等的實數根(或二次函數與x軸有且只有1個交點)?Δ=0；沒有實數根(或二次函數與x軸沒有交點)?Δ<0.

運用上述方程理論求解某些定論問題十分便利，但運用一元二次方程判別式時常常需要用到配方法，并結合非負數的性質.

例5使函數值為0的自變量的值稱為函數的零點．己知函數y=x2-2mx-2(m+3)(m為常數).

(1)略；

(2)證明：無論m取何值，該函數總有2個零點．

(2011年湖南省長沙市數學中考試題)

分析函數總有2個零點即方程x2-2mx-2(m+3)=0總有2個不相等的實數根，把判別式配方得Δ=4(m+1)2+20>0,由方程理論(2)知，無論m取何值,函數y=x2-2mx-2(m+3)總有2個零點．

2.6 利用多項式理論

有些定論問題可以運用這2個多項式相等理論來求解.關于x的多項式：

(1)anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0?an=an-1=…=a1=a0=0；

(2)anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0?an=bn，an-1=bn-1，…，a1=b1，a0=b0.

例6對于二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4，把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)(t≠0)稱為這2個函數的“再生二次函數”，其圖像記作拋物線E．

(1)略.

(2)二次函數y=-3x2+5x+2是二次函數y=x2-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，請說明理由．

(2012年江蘇省鎮江市數學中考試題)

分析這是探索概念是非的問題.函數

y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)

可化為

y=tx2-(t+2)x-2t+4.

若y=-3x2+5x+2是“再生二次函數”，則

tx2-(t+2)x-2t+4=-3x2+5x+2.

根據多項式相等理論,得

t=-3,-(t+2)=5,-2t+4=2

應同時成立,顯然這是不可能的.故y=-3x2+5x+2不是“再生二次函數”.

2.7 利用函數性質

有些定論問題可以運用這些函數性質來求解.

(1)對于函數y=ax2+bx+c(或代數式ax2+bx+c，其中a≠0):

①若a>0,Δ<0,則y>0(或ax2+bx+c>0)；

②若a<0,Δ<0,則y<0(或ax2+bx+c<0).

(2)若2個函數y1,y2的圖像有2個交點、1個交點、0個交點，則這2個函數式聯立組成的方程組有2個解、1個解、沒有解，即消元后所得的一元二次方程的判別式Δ>0，Δ=0，Δ<0，反之亦然.

例7a,b,c為三角形的3條邊長，證明：不論x為何實數，總有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.

證明因為b2>0，且

Δ= (b2+c2-a2)2-4b2c2=

(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=

(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,

由函數性質(1),得

b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.

2.8 運用幾何原理

幾何定論問題一般運用幾何原理來求解.

圖1

例8如圖1，⊙O的直徑AB=2,射線AM,BN為半圓的切線，在AM上取一點D，聯結BD交半圓于點C，聯結AC．過點O作OE⊥BC于點E，交BN于點F；過點D作DP切半圓O于點P，交BN于點Q．

(1)(2)略；

(3)求證：當點D在AM上移動時(點A除外)，點Q始終是線段BF的中點．

(2011年山東省濰坊市數學中考試題)

分析這是幾何定論問題.易得△ABD∽△BFO，從而

于是AD·BF=2.

(1)

由切線長定理,得

DA=DP，QB=QP.

過點Q作QK⊥AM于點K，在Rt△DQK中，

DQ2=KQ2+DK2，

即

(AD+BQ)2=22+(AD-BQ)2,

得AD·BQ=1.

(2)

由式(1)和式(2)，得

BF=2BQ，

故點Q為BF的中點．

2.9 綜合法

有的定論問題需要綜合運用多種方法求解才能奏效.

分析拋物線解析式可化為關于a的方程

2(2x+1)a=4y-4x2-4x-1.

因為a可任意取值，即方程有無數個解，所以

于是

消去a，得所求拋物線的解析式為

說明本題運用了方程理論(1)、消元法，當然求定點也可用主元與無關思想、特殊值法等.

(2012年廣西壯族自治區南寧市數學中考試題)

分析這是求值(進一步確定函數解析式)問題.聯立2個函數，消去y，整理得

4ax2+4(b-k)x+k2+4k+4=0.

因為2個函數圖像對任意的實數k都只有1個公共點，所以由函數性質(2)得上述方程的判別式Δ=0，即

(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4a=0.

由于此式對任意的實數k都成立，根據主元與無關思想或多項式相等理論有

1-a=0，2a+b=0，b2-4a=0，

故a=1，b=-2(函數解析式為y=x2-2x+1)．

說明本題運用了主元法、函數性質、多項式相等理論等.

求解定論問題要通過相應策略在變中尋不變，化動態為靜態，抓住不變情形應對.需要指出的是，同一題目有時有多種策略求解(如例3有5種策略)，有的題目又需要綜合運用多種策略協同作用才能奏效.因此，具體解題時要針對題型選用最優的方法應對.