研究教材 用好教材
——以“橢圓的概念及標準方程”課為例

● (菱湖中學 浙江湖州 313018) ● (杭州第四中學 浙江杭州 310018)

1 問題的提出

隨著新一輪課程改革的深入，“不是教教材，而是用教材教”的教材使用觀越來越得到廣大一線教師的認同和研究．但是在實際的課堂教學中，也有部分教師沒有真正理解“不是教教材，而是用教材教”的內涵，從而出現了片面脫離教材進行課堂教學的情形，甚至在部分教師的課堂上，學生從頭至尾都沒有翻閱教材．

筆者近日聽了幾堂橢圓概念的新授課，也看了幾篇“橢圓的標準方程”同課異構課的教學設計，都給人一種意猶未盡之感．

遺憾1由于時間太倉促，一節完整的橢圓概念課，被分成了2天2節課來實施教學，知識點之間失去了連貫性．大部分任課教師為了一節課的完整性，都掐掉了從圓到橢圓的演變過程，沒有考慮學生對橢圓第一認識的感官知覺，對課前的引入素材沒有作事后的論證．

遺憾2沒有很好地使用課本提供的素材，比如本節開頭提供的動手操作探究部分；更沒有對課本素材進行深挖掘，比如課本提供的例2；課后的探究與發現部分，也沒有為后續知識的教學提供相適應的鋪墊．

由于以上原因，筆者做了一次嘗試，通過換課，一天內2節課連上，使課堂有了充足的時間保證，并對“橢圓的標準方程”作了再設計，將其定義為“橢圓的概念及標準方程”．

2 教學再設計

2.1 情景引入

師(拿起預先準備的圓柱形玻璃水杯)：同學們，請看杯子里的水面是什么形狀的？

生(眾)：圓形．

教師把杯子稍作傾斜，再次問：現在的水面又是什么形狀呢？

生(眾)：橢圓．

師：很好！的確是一個橢圓．是否可以說圓柱的斜截面是一個橢圓呢？橢圓和圓之間又有什么聯系呢？

生1(稍作思考后)：圓柱的斜截面是一個橢圓，而且，由剛才玻璃杯水面形狀的變化特點，我認為橢圓可以由圓經過拉伸或壓縮而得到．

2.2 概念的形成與概括

(以下是對教材探究部分的教學.)

師：不錯，橢圓的確可以由圓經過不同程度的拉伸或壓縮而得到．那么，什么是橢圓呢？總要給橢圓一個屬于自己的定義，并給出橢圓的方程形式．這節課我們就來學習“橢圓的概念及標準方程”．

師：下面請同學們拿出昨天要大家準備的細繩、厚一點的硬紙板、2顆圖釘，將細繩的2端用1個圖釘固定在紙板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是什么？

生(一齊)：是一個圓．

師：能解釋一下以上作圖中的幾何原理嗎？

生：平面上到一個定點(圖釘)的距離等于定長(繩子折疊后的長)的點(筆尖)的軌跡為圓．

師：下面，我們再畫一次，將細繩的2端拉開一段距離，分別用圖釘固定在紙板的2個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡又是什么曲線？

評注從2個點重合到2個點分開，在實際操作中，體驗從圓到橢圓的演變過程．

學生(一齊)：是一(半)個橢圓．

師：的確是一個橢圓，得到半個橢圓的同學是少畫了2個圖釘的下方部分或上方部分．那么，誰能說出，在這次畫圖過程中，移動的筆尖(動點)所滿足的幾何條件？

生2(稍作思考)：由于在筆尖移動的過程中，繩子的長度保持不變，2個圖釘可以看成2個定點，因此筆尖滿足的幾何條件是：筆尖(動點)到2個定點(圖釘)的距離等于定長(繩子的長度)，另外，由于繩子在2個圖釘間的部分是寬松的，因此，這個定長大于2個定點之間的距離．

師：非常好，生2其實已經道出了橢圓的定義：我們把平面內與2個定點F1,F2的距離和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這2個定點叫做橢圓的焦點，2個焦點間的距離叫做橢圓的焦距．

圖1

師：請同學們參看圖1，并結合橢圓定義，對照橢圓定義的文字語言和圖形語言，試著將其轉化為符號語言．

生3：設M是橢圓上的任意一點，則橢圓可以表示成以下點的集合：

{M||MF1|+|MF2|=2a，2a為大于|F1F2|的常數}．

師：非常不錯，現在我們有了橢圓的文字定義、圖形與符號定義，有了這些，我們就可以解決為什么圓柱的斜截面是橢圓的問題.下面，請同學們翻到課本第42頁，仔細閱讀“探究與發現——為什么截口曲線是橢圓”，并試著解決“為什么圓柱的斜截面是橢圓的問題”．

很快，不少學生仿照證明圓錐的斜截面是橢圓的方法證明了“圓柱的斜截面是橢圓”．

評注與課堂引入相呼應，解決了茶杯傾斜后的水平面是橢圓的問題，并加深了學生對橢圓定義的理解．

2.3 橢圓標準方程的推導

通過研究曲線的圖形和方程可以得到它的各種性質，也就是所謂的“數形結合”．下面，我們根據橢圓定義的文字表示和符號表示，并結合圖形特點，來推導它的方程．

評注這一過程與大多數任課教師的設計相差不大，筆者不再贅述．

2.4 例題設計，深化概念

通過例題設計，加深學生對橢圓標準方程的把握和橢圓定義的理解．

例1判斷下列橢圓的焦點在哪個軸上，并寫出焦點坐標：

例2分別求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)a=4，b=3；

(2)焦點F1(0,-3),F2(0,3)，a=5；

(4)經過點A(-7,0),B(0,4)．

評注通過例1及例2，特別是例2的第(1)小題，使學生能正確區分或考慮焦點在x軸或y軸上2種情形，并解決a2,b2與a,b容易相混淆的問題；通過例2第(3)小題的2種解法，向學生滲透待定系數法(解方程思想)與定義思想的運用；通過例2第(4)小題的教學，向學生滲透數形結合思想與待定系數法(解方程思想)．

2.5 與引入呼應，再次探究

例3如圖2，在圓x2+y2=a2(a>0)上任取一點P，過點P作x軸的垂線PD，當點P在圓上運動時，線段PD中點M的軌跡方程是什么？

圖2

解設點M(x,y)，點P(x0,y0)，則

因為點P(x0,y0)在圓x2+y2=a2上，所以

x2+4y2=a2，

即

因此點M的軌跡是一個橢圓．

評注此例題以教材中的例2為藍本進行改編，增強了知識的一般性與探究的連續性．

師：通過這道例題，我們是否能從點的角度，并以代數為媒介，剖析圓與橢圓的關系？

師：非常不錯！生4向我們解釋了從圓到橢圓的演變過程．誰能結合例3的方法再次解釋一下為什么“茶杯傾斜后的水平面是橢圓”的問題．

圖3

師：很好！生5從代數方程的角度說明了為什么茶杯傾斜后的水平面是橢圓．

2.6 設計操作串，構建圓到橢圓的演變鏈

師：前面我們知道了什么是橢圓、橢圓的標準方程及橢圓與圓的關系．下面請同學們再次動手，拿出細繩、厚一點的硬紙板、2顆圖釘，將細繩的2個端分別用一個圖釘固定在紙板的2個點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出橢圓；接下去，再將2顆圖釘沿著2顆圖釘確定的直線向外平移相同的距離，再次畫出橢圓；如此多重復幾次，觀察隨著圖釘的外移，橢圓發生了什么變化．

生：橢圓越來越扁．

師：我們用離心率e來表示橢圓的寬扁程度，既然稱為離心“率”，那肯定是一個比值．從剛才2顆圖釘從重合到分離，到距離越來越大，導致圖形由圓變化到橢圓，再慢慢變扁的過程，我們可以用哪2個量的比值來表示離心“率”呢？

評析將此部分內容提前，建立從圓到橢圓變化的完整知識體系．

3 結語

調研表明，出現脫離課本進行教學的原因主要有以下幾個方面：

第一，許多教師認為教材內容太“簡單”，不足以應付高考．誠然，教材的“基礎性”與高考的“選拔性”的確有一定的目標差異，但學好教材一定是高考取得好成績的前提，教師的主要精力應當放在幫助學生熟練掌握教材內容上．

第二，由于目前現成的教輔資料、學案、課件、教案比比皆是，教學中拿來主義的現象比較嚴重，導致許多教師不善于或不愿意花大力氣研究教材．

第三，誤解課改提倡的“不是教教材，而是用教材教”，要“創造性地使用教材”的真正意圖．我們要創造性地使用教材，但創造性地使用教材不是脫離教材．畢竟教材的結構體系、內容順序是專家反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的．因此，在教學中，要仔細分析教材的編寫意圖，將教材的編寫思想滲入我們的課堂教學中．在處理教材時，內容的調整、順序的調整要十分小心(否則容易導致教學目標的偏離)，要根據知識結構的特點和學生的實際認知而行，案例和例題可以根據學生基礎和當地教學環境替換，但所換的案例和例題要反映教科書的編寫意圖，要能承載教材中案例和例題的教學任務．

教之道在于“度”，學之道在于“悟”．在課堂教學中，我們要不斷地研究教材，研究教材的編寫意圖，創造性地使用教材，才能很好地把握教材使用的“度”．