“最熟悉的陌生人”
——以二次函數為背景的考題淺析

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(鄞州區高級中學 浙江寧波 315100) (鄞州區鄞江中學 浙江寧波 315100)

函數是高中數學課程的一條重要主線，而二次函數又是貫穿高中數學課程的一種重要模型．不管在代數中還是在幾何中都有它的身影，在高考和競賽中更顯示其隱形的威力.正因為大家對函數過于熟悉和了解，所以似乎忽視了它的存在，沒有引起足夠的重視，以至于經常犯一些低級的錯誤．本文通過剖析一些例題，淺析二次函數模型的命題特征，把脈學生思維的困境．

1 從2個例題談起，探尋二次函數的蹤跡

(2013年江蘇省數學高考試題第13題)

學生思維的困惑點如何設點,代數式如何整理、變形,變形后是一個什么類型的模型,最值問題最終如何求解.

PA2=f(t)=t2-2at+2a2-2=

(t-a)2+a2-2(t≥2).

因為函數y=f(t)圖像的對稱軸為t=a，所以可分以下2種情況討論：

2a2-4a+2=8,

得a=-1，a=3(舍去).

a2-2=8,

例2若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是______．

(2013年全國新課程數學高考試題第16題)

學生思維困惑點函數解析式系數怎么算方便，四次函數的最值求解是不是將導數進行到底，從函數解析式的特殊性入手如何解決問題.

分析因為函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，所以

化簡得

于是f(x)= (1-x2)(x2+8x+15)=

(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)=

-(x2+4x+3)(x2+4x-5).

令t=x2+4x=(x+2)2-4(t≥-4)，則

y=h(t)=-(t+3)(t-5)=-(t-1)2+16≤16,

從而f(x)max=h(1)=16(此時x2+4x=1).

點評以上2道高考試題構思巧妙，學生熟悉其背景，因此入題較容易，但絕大多數考生解決起來卻感到有壓力．例1的難點在于換元和分類討論，例2的難點在于求導、因式整理化歸.2道試題都很好地隱藏了二次函數這一知識點的行蹤，學生考完可能會有這樣的感慨：眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處！

2 針對多變的題型，如何應對

其實“她”無處不在，但往往顯得“羞澀含蓄”，那么教師在平時的備課和教學活動中該如何把脈和掌控呢？以下是筆者的一些觀點．

觀點1展示題目背景，理清3個“二次”(二次函數、二次方程、二次不等式)的關系．

“她”滲透在基本不等式、數列、圓錐曲線等模塊中，穿上不同的外套，但又不偏離二次函數與方程的本質．不妨將一些匠心獨具的高考試題一起擺出來，讓學生品味一番．如：

例3設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是______．

(2011年浙江省數學高考理科試題第16題)

分析令z=2x+y，則y=-2x+z，代入方程4x2+y2+xy=1得

6x2-3zx+z2-1=0.

(1)

方程(1)有解,則Δ≥0，即

9z2-24(z2-1)≥0,

例4設a1,d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是______．

(2010年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析因為S5S6+15=0，所以

(2)

方程(2)有解,則Δ≥0，即

81d2-8(10d2+1)≥0,

點評例3和例4有異曲同工之妙，揭去它們神秘的面紗，共同點“圍繞二次方程有無實根”就會暴露出來，因此在處理的手法上可用方程思想轉化．一般的步驟概括為：設、代、整(整理或找主元)、用(利用判別式)．

觀點2關注細節的魅力.

細節決定成敗，成功有時只是一剎那間抓住的蛛絲馬跡．平時在教學中,教師若能引領學生多從細微之處發現問題的本質，多揣摩題設條件背后的故事，效果會更好．

例5設a∈R，當x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析如圖1，函數y1=(a-1)x-1，y2=x2-ax-1都過特殊點P(0，-1)．

圖1 圖2

例6設f(x)=x2+bx+c，若方程f(x)=x無實根，則方程f(f(x))=x

( )

A.有4個相異實根

B.有2個相異實根

C.有1個實根

D.無實根

(2012年浙江省高中數學聯賽試題第10題)

分析如圖2，因為方程f(x)=x無實數根，所以函數y=f(x)開口向上，圖像在y=x的上方，因此判斷

f(x)>x.

(3)

若令t=f(x)，則

f(t)>t.

(4)

由式(3)和式(4)知

f(f(x))=f(t)>t=f(x)>x.

故選D．

點評例5和例6都追求細節的處理．一些平時容易被忽視的問題，如：圖像上的一些特殊點處理問題、2個二次函數圖像的拼接問題、二重零點問題、2個函數圖像高低問題等，都是細節的來源.教師應設法讓學生體會從不熟悉的問題中找尋熟悉的痕跡，從熟悉的問題中找尋不一樣的細節．

觀點3重視基本思維能力的培養.

基本思維能力的培養功在平時，下面以分類討論能力為例簡單闡述筆者的觀點．學生可能知道什么時候該分類討論，但可能不知道怎樣分類更合理．顯然分類依據的選擇是關鍵，方向選擇恰當與否直接決定成敗．

( )

(2013年天津市數學高考理科試題第8題)

圖3 圖4

得

即

例8設a,b,c為實數，f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)．記集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分別為集合S,T的元素個數，則下列結論不可能的是

( )

A.|S|=1且|T|=0

B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2

D.|S|=2且|T|=3

(2011年浙江省數學高考理科試題第10題)

分析可以適當特殊化，然后分類．當a=b=c=0時，|S|=1且|T|=0；當a≠0且b2-4c<0時，|S|=1且|T|=1；當a≠0,b2-4c>0且b=a+c時(如取a=1,b=3,c=4)，|S|=2且|T|=2．

點評例7和例8的解決都需要分類．教師平時應該多滲透一些細節引導，如：能否利用開口方向或特殊點縮小范圍分類、能不能利用函數的性質分類、可不可以特殊化或極端化處理分類等．這種平淡中的珍奇并不是一蹴而就的，需百般雕琢，細心培育．

觀點4重視視野的拓展.

眼界決定未來．提升教學內容的深度和廣度必不可少．很多的結構、形式都是人為加工和處理的，若要透過現象看本質，唯有拓展學生視野．

例9設a,b為實數，函數f(x)=ax+b滿足：對任意x∈[0,1]有|f(x)|≤1，則ab的最大值為______．

(2013年全國高中數學聯賽試題第5題)

分析易知a=f(1)-f(0)，b=f(0),則

ab=f(0)·[f(1)-f(0)]=

例10設二次函數f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3，4]上至少有一個零點，則a2+b2的最小值______．

(2013年浙江省高中數學聯賽試題第19題改編)

分析把等式f(x)=0看成一直線方程

(x2-1)a+2xb+x-2=0,

利用直線上一點(a,b)到原點的距離大于原點到直線的距離，即

因為x∈[3,4]，所以x-2∈[1,2]，于是

從而

當且僅當x=3時，等號成立．

點評例9和例10的解決都需要用到等價轉化．積累的多少、靈不靈活是可以訓練的．教師在重基礎、重通性通法的同時，更應關注創造性的理性思維，這是教學努力的方向．

觀點5重視函數導函數與二次函數的聯系．

從高中數學引入導數開始，二次函數在中學數學中的地位就下降了．事實是這樣嗎？考試的重心是在發生遷移，但二次函數的價值仍在．

例11若函數f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1，則關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實根個數是

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2013年安徽省數學高考理科試題第10題)

分析求導得f′(x)=3x2+2ax+b.令f′(x)=0，設x1，x2為方程

3x2+2ax+b=0,

(5)

的2個根，與方程

3(f(x))2+2af(x)+b=0,

(6)

比較后，不難發現方程(5)與方程(6)是同解方程.于是方程(6)的解是f(x)=x1或f(x)=x2.又f(x1)=x1，結合圖像可知，答案是A．

例12已知e為自然對數的底數，設函數f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則

( )

A.當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值

B.當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值

C.當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值

D.當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值

(2013年浙江省數學高考理科試題第8題)

分析當k=1時，方程f(x)=0有2個根：x1=0，x2=1,可得f(x)的大致圖像，于是選項A，B錯誤.當k=2時，方程f(x)=0有3個根：x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根,可得f(x)的大致圖像如圖5所示，易知選項C正確．

圖5

例11和例12大同小異，求導之后可轉化為二次函數問題，可見二次函數的重要地位．

二次函數的呈現總是“超酷”，而且非常“有型”．有時“她”秀色可餐、平易近人，有時伶牙俐齒、張牙舞爪．可以說“她”是力與美的體現，“她”從平凡中走來，又在平凡中變得偉大且富有生命力．我們應該向那些創造了如此美妙的數學“神題”的命題專家們致敬，感謝他們賦予這個“老朋友”以新的活力．教師要努力激活學生的認知和鑒別能力，讓學生學會如何駕馭，這才是最重要和最迫切的！