由一道向量題引發的解題思維實踐

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(寧海中學 浙江寧海 315600)

與三角形三心(外心、垂心、內心)聯系的平面向量問題是數學高考中經常出現的一類題型.對這類題型的解題探究可以開闊學生的解題思維，培養學生的發散思維，提高學生分析問題和解決問題的能力.本文利用一道高考模擬題，從學生實際出發進行一題多解的嘗試，有效地創設學生思考的空間，讓師生都能獲取“智慧”，從而豐富解決問題的策略.

1 試題再現

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2 考情分析

這是一道高考模擬題，該題的得分較低.筆者找了部分做對的學生了解到：一部分學生是從選項出發，運用代入排除法：代入選項A時滿足，就直接選擇了A，其余選項看都沒看；一部分學生是猜的；小部分學生利用外心這個條件，真正求出正確結果.為何看似一道普通的向量題，卻難倒了如此多的學生，這不禁引起了筆者的思考.

3 解法賞析

注意到OD⊥AD，從而

在△ABC中，由余弦定理得

從而

由

得

解得

圖1 圖2

從而

又

從而

解得

點評解法2采用坐標法，根據三角形已知的3條邊長，可求解出任一個角，即3個頂點的坐標均可以解出.利用正弦定理可以求出外接圓的半徑，即AO的長.由O是中垂線的交點，可以得出AD的長，進而根據Rt△AOD可得出OD的長，因此可以求出點O的坐標.最后利用向量相等，等價于橫縱坐標分別對應相等，得出關于x,y的方程組，解之.解法2體現了坐標法的優越性，是學生容易想到的一種解法.

從而

故∠BAC為銳角.如圖3，過點O作OG∥CA交AB于點G，作OH∥BA交AC于點H.

由OG∥CA可得

從而

由解法2知

從而

圖3 圖4

解法4由解法2，知

如圖4，在△AOB中，由余弦定理得

從而

在△AOC中，由余弦定理得

從而

在△AOG中，由正弦定理得

解得

點評解法4與解法3類似，與解法3不同的是求AG,AH的長度是先利用余弦定理分別解出∠BAO與∠CAO的正弦，再利用正弦定理得解.

圖5

解法5由解法2，知

取BC的中點H，聯結OH，則OH⊥BC.因為

所以由余弦定理可知

又

得

由

上述各種解法，是對所給問題多角度觀察、聯想、思考的結果.本題也讓我們感受到命題者的良苦用心，讓我們深刻體驗到：好的考題中蘊含著基本的數學思想方法，一題存在多種解法，入口寬，活而不難，突出對學生靈活運用知識能力的考查.

4 試題類比

對于內心和垂心的解法探究：

解法1如圖6，OE⊥AB，OF⊥AC.由△ABC的3條邊長可求得

從而

即

解得

圖6 圖7

即

解得

即

解得

圖8 圖9

從而

解得

5 反思

教學中對一類問題不能僅僅滿足于完成試題得到結果，而應該舍得花時間組織學生對條件和結論多反思、拓展，讓學生親身經歷探究過程，發現隱藏在試題背后的通性、共性的知識，理解基本的數學概念、教學結論的本質，體會其中蘊藏的數學思想方法，從而提高學生的數學素養.

參 考 文 獻

[1] 邱慎振.一道高考模擬試題的多視角探究與思考[J].中學教研(數學),2013(11)：26-28.

[2] 嚴飛.對一道課本例題的深入挖掘[J].中學教研(數學),2013(9)：11-12.

[3] 張定強，趙宏淵，楊紅.高中生數學反思能力培養的基本模式與實踐探索[J].數學教育學報，2008,17(1)：38-42.