對一道高考壓軸題的多重思維探究

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(鎮海中學 浙江寧波 315200)

在數學學習中，我們要善于捕捉問題中透露出來的信息.綜合性強的問題往往都可以舉一反三、觸類旁通.因此，筆者認為對一些經典的高考題多作一些思考、猜想與總結，會發現具有普遍性的思維結果.下面筆者從2013年浙江省數學高考理科壓軸題入手，分析此題的4種解法，嘗試從本質上分析該題的背景、出題意圖，并給出關于三次函數中心對稱的一般結論，以期為平時的教學提供參考.

1 拋磚引玉——縱觀題目

函數的最值問題是函數的整體性質，閉區間上函數的最值只能在區間的端點和極值點上取到.因此,要對函數在這個區間上的性質作充分地分析才能進行準確判斷,要充分利用函數的圖像以及問題所具有的特殊性.

例1已知a∈R，函數f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3．

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)當x∈[0,2)時，求|f(x)|的最大值．

(2013年浙江省數學高考理科試題第22題)

2 求真務實——解法分析

第(1)小題難度不大，主要考查導數的幾何意義，此處不再討論.第(2)小題看上去簡潔精練，主要涉及含參三次函數的求最值問題，但難度較大；因絕對值的參與，使得難度比平時遇到的含參三次函數更上了一個等級.以下介紹第(2)小題的4種解法：

解法1由f′(x)=3x2-6x+3a=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2，得

(1)當a≤0時，f′(x)≤0，此時f(x)在[0,2]上單調遞減，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(0)=3-3a.

(2)當a≥1時，f′(x)≥0，此時f(x)在[0,2]上單調遞增，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(2)=3a-1.

0

此時f(x)在區間(0,x1)和(x2,2)上單調遞增，在區間(x1,x2)上單調遞減.由

得

f(x1)+f(x2)=2>0，

從而

f(x1)>|f(x2)|，

故

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}．

f(x1)-f(0)=2t3-3t2+1=(t-1)2(2t+1)>0,

故

f(x1)-|f(2)|=2t3+3t2-1=(t+1)2(2t-1).

|f(x)|max=|f(2)|=3a-1．

綜上所述，

點評本題考查了數形結合、轉化與化歸、分類討論思想，還要求學生具有較強的運算能力、推理論證能力以及分析問題和解決問題的能力.

代入上式得

-(x1-2)2(2x1-1).

點評在求不等式的過程中，先求x1的取值范圍，再求a的取值范圍，避免了根式，轉化為整式，也不失為一種好方法.

《規劃》力求從五個方面夯實農墾振興的基石：一是在農業生產上實現由追求數量到講究質量的轉變，著眼于發展綠色、生態、有機、優質農產品；二是實現多業態融合發展，堅持農業種養結合、農業服務與農產品精深加工結合、農旅結合，實現一二三產融合發展；三是以項目為抓手，加大投入力度，實施項目帶動產業發展；四是在體制機制上進一步推進集團化改革，增強企業內生動力，實現集團由管理型向服務型轉變；五是爭取政府的支持，與安徽省鄉村振興規劃相對接，搶抓發展機遇，確保農墾與地方平等享受國家普惠政策。

討論的標準不同做題的過程也就各異,因此還可以用另一種思路進行討論.

解法2由f′(x)=3(x2-2x+a)，記判別式Δ=36(1-a),對Δ進行討論：當Δ≤0，即a≥1時，同解法1；當Δ>0，即a<1時，設f′(x)=0的2個根為x1,x2，且x1+x2=2，此時

(1)當x1≤0且x2≥2，即a≤0時，同解法1；

(2)當0

由(1)，(2)可得

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.

又f(x1)>f(0)，f(0)=3-3a>0,從而f(x1)>|f(0)|，于是

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}.

f(x1)>|f(x2)|>|f(2)|，

故

|f(x)|max=f(x1).

評述二次函數中對判別式Δ的討論是一種比較常見的思路.本題涉及三次函數，它的導函數是二次函數，因此對導函數的實根分布問題就是本題的討論點，也是本題的突破口，如此也能得到解法1的結果.要達到在高考中思路開闊清晰的理想狀態，首先教師要在平時教學中引導學生用多種方法來解題，發散學生的思維，鍛煉學生的意志力，這樣學生遇到難題時才會有足夠的信心，而不會半途而廢.

以下解法3只給出關鍵的步驟，其他的可對照解法1和解法2得到.

解法3由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，可知函數f(x)的圖像是由奇函數y=x3+3(a-1)x平移得到，因此f(x)的圖像關于點(1,1)對稱.

當x∈[0,2]時，fmax(x)+fmin(x)=2，因此fmax(x)>0且fmax(x)>|fmin(x)|(若fmin(x)≥0，顯然成立；若fmin(x)<0，則fmax(x)=2-fmin(x)=2+|fmin(x)|>|fmin(x)|)，故

|f(x)|max=fmax(x)，

于是只需考慮f(x)在[0,2]上的極大值和端點函數值.

當a≤0與a≥1時，同解法1.當0

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}，

且f(2)必定為正數，從而

|f(x)|max=max{f(x1),f(2)}，

下面只需同解法2討論f(x1),f(2)的大小即可.

解法4是在解法3基礎上的改進.

解法4由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，令t=x-1∈[-1,1]，則

y=f(x)=g(t)=t3+3(a-1)t+1，

即轉化成求g(t)在t∈[-1,1]上的最大值問題，且函數g(t)的圖像關于點(1,0)對稱,以下同解法3.

點評對于解法3和解法4，從問題的本質看是用到了三次函數的中心對稱性,原函數可變為f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，關于點(1,1)對稱，因此很快得到|f(x)|max=fmax(x)，從而避免了繁雜的計算，比解法1和解法2簡單很多，同時也有助于學生提高對知識系統性的理解水平.在平時教學中，教師可以多歸納、多總結，在課堂上適時引導，并讓學生在課后作深入探究，更可以在選修課上發揮學生的主觀能動性，激發學生學習數學的興趣.

3 舉一反三——結論推廣

高考壓軸題善于從基礎知識入手，逐漸加深，以此考查學生的知識深度和廣度，以期達到真正選拔人才的目的.本文在對例1進行嘗試多角度剖析的同時，對三次函數進行歸納性的整理，得出具有普遍性的結論.由此可見，在平時的訓練中，加強對學生思維的訓練遠勝于單純的題海戰術，多角度思考和發散有利于在遇見真正的難題時舉一反三，化繁為簡，從而得到理想的結果.高考考查的從來不是偏深的難度，而是觸類旁通的靈活性和變通性.

參 考 文 獻

[1] 管宏斌．三角函數對稱中心初探[J]．數學通訊，2004(15)：25-26．

[2] 徐建君．三次函數的對稱中心及其應用[J]．考試：高考理科版，2006(11)：17-19．