主變元思想在圓錐曲線中的應用

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(海寧市高級中學 浙江海寧 314400)

直線與圓錐曲線的綜合問題是歷年高考的重點內容之一，也常常是難題的載體，是學生取得高分的制高點．直線與圓錐曲線問題的解決，往往要將代數與幾何的方法完美結合，既有代數的函數與方程、分類討論、代數變式等思想應用，又有幾何性質的參與，綜合性較強，主要涉及的問題常有：定點定值問題、參數求最值或范圍的問題、位置關系的判定、長度或面積的求值問題等等，對學生綜合解決問題的能力要求較高．而學生在處理這些問題時，往往只會利用通式通法，而對參量本身的選擇與應用把握不到位，結果發現問題的處理過程復雜、計算繁瑣，最后不了了之．因此，直線與圓錐曲線問題的處理，特別需要關注參數的選取和應用．

1 課堂實錄

高二下學期，筆者在上選修內容“圓錐曲線與方程”的習題課時，有過這樣一次精彩的歷程，實錄如下：

生1：設直線l的方程為y=kx+b，與拋物線相交于點A(x1,y1)，B(x2,y2),聯立直線與拋物線方程得關于x的一元二次方程

k2x2+(2kb-4)x+b2=0，

從而

由題意

后面我解不下去了．

師：誰能接著解下去？

師：生1和生2使用的是通式通法，利用題目中的等量關系列方程，步驟也很完整，究竟錯在哪里呢？

生3：參數選擇不恰當.結合幾何性質，參數k與b應該符號相反，即b=-2k，從而y=k(x-2)，定點為(2,0)．但生1和生2的解法中平方掩蓋了這個事實，平方產生了增根，導致錯誤.我的解答是：只選擇點參數，圍繞點的坐標解答.

化簡得

(y1+y2)y-4x+8=0，

即

因此直線l過定點(2,0)．

(全體學生感到驚訝.)

生4：老師，我用的是直線參數法.設出直線l的方程，利用直線參數計算，找出這些參數之間的關系也能解決．

師：你來演示一下．

生4：設直線l的方程為y=kx+b，與拋物線相交于點A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯立直線與拋物線方程，消去x得

ky2-4y+4b=0，

從而

即b=-2k，于是y=k(x-2)，故直線l過定點(2,0)．

師：生4的解法其實是對生1的解法進行了修正，2種解法都體現了解決直線與圓錐曲線綜合問題時參數的選擇和圍繞主參數進行等式變形的特點.這也是通式通法中能將計算進行到底的依仗與技巧,希望同學們能在以后的解題中加以體會．

2 教學反思

這堂課之所以是一次精彩的歷程，是因為它體現了新課程以學生為主體的理念.整個教學過程教師只是在引導，引導更多的學生主動參與其中，通過生與生之間的互動、誘導，讓學生自己逐步提出、完善解法．當然，主變元思想作為圓錐曲線應用中一種重要的解題思想，是在學生的相互啟發中得以產生、完善與體現的．

其實，筆者沒有預設到以上學生的解法，筆者的解答過程是：設直線l的方程為ty=x+b，與拋物線方程聯立，消去x得

y2-4ty+4b=0，

解得

得b=-2，因此直線AB的方程為ty=x-2，即直線l過定點(2,0)．

看到學生的精彩解答后，筆者的解答顯得過于技巧了，這堂課最精彩的內容往往是學生自主的課堂生成．生1的失誤是因為主變元不突出，在解題過程中，既有線參數(k,b)的參與，又有點參數x1,y1,x2,y2的參與，雖然生2最后也偶然地統一到了線參數，但因為平方再開方導致增根而解不下去．生1的錯誤非常典型，學生在解直線與圓錐曲線的綜合題時，往往只會生搬硬套解題通法，機械地聯立方程組，消元得到一個一元二次方程，利用韋達定理轉化為關于點的坐標的等式，再埋頭苦算.但更多的時候是算不下去或在繁雜的計算中迷失了解題的方向，分不清主變元，不能圍繞主變元展開等式變式，從而導致解題失敗.解不出題，更多的學生只能尋求步驟分，這也是無奈之舉．

生3、生4的解法和筆者預設的解法，則很好地把握住了主變元的作用.生3的解法以點參數為主變元，利用點參數表示題目條件，通過等式變形，找到以點參數表示的直線方程，從而順利地解決問題.生4和筆者預設的解法其實都體現出了以線參數為主變元，將問題要素用線參數表述出來，通過計算分別找到了k與b的關系或b的值，從而找到定點．

3 變式應用

為了讓學生及時地鞏固例1的思想方法，課后筆者又找了幾道類似的習題給學生訓練：一方面能引導學生進一步思考、完善、鞏固解題方法；另一方面讓學生能熟練操作、準確領悟解答問題的思想方法．

例2已知點A(x0,2)在曲線C:y2=4x上，過點A作曲線C的2條弦AD,AE，且AD,AE的斜率分別為k1,k2滿足k1k2=2，試判斷直線DE是否過定點，并證明你的結論．

分析1點參數主變元思想

解得y1y2=4-2(y1+y2)，代入直線DE的方程得

即

兩邊同乘y1+y2，得

(y1+y2)y-y1(y1+y2)=4x-y12,

即

(y1+y2)y=4x+4-2(y1+y2),

化簡得

從而直線DE過定點(-1,-2)．

分析2線參數主變元思想

設D(x1,y1)，E(x2,y2)，直線DE的方程為

與拋物線聯立得

從而

y1y2=4-2(y1+y2)，

即

評注本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的基本關系等基礎知識，考查學生運算求解直線過定點的能力.例2背景簡單，解題方法卻很深刻，若設直線AD,AE斜率為k1,k2，然后用k1,k2表示DE直線方程，雖能計算出來，但計算難度很大，很難得到結果.而主變元思想的應用，不管是用點參數主變元還是線參數主變元，都能將直線DE利用適當的參數表達出來，從而找到直線所過的定點，其優點是運算相對簡單，過程簡潔．

4 引申應用

例1和例2都是定點定值問題，從解答過程可以體會到：主變元思想主要是通過引進參變量表示題目的變化過程，然后通過運算及等式變式，發現某些與參數無關的量，這就是定點定值問題的本質．其實，利用點、線參數主變元的思想，解決直線與圓錐曲線綜合題中的參數求最值或范圍的問題、位置關系的判定、長度或面積的求值問題等等也有著很好的指導作用.即根據題意選擇一些適當的參數，把所討論的參數作為一個函數，再從中選擇一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍或求參數的最值．